وضعية هندسية — كلاسيكية

تمرين 9 \(A = 2x^2 - 8\)

📐 نص التمرين

(I نعتبر العبارة \(A = 2x^2 - 8\) حيث \(x \in \mathbb{R}\).
1) أ- أحسب القيمة العددية للعبارة \(A\) إذا كان \(x = -1 + \sqrt{2}\).
ب- بين أن \(\frac{A}{2} = (x - 2)(x + 2)\).
2) لتكن العبارة \(B = 2(x - 1)^2 - 4(x - \frac{3}{2})\).
أ- انشر واختصر العبارة \(B\).
ب- استنتج أن \(B = 2(x - 2)^2\).
3) بين أن \(\frac{A}{2} - B = (x - 2)(6 - x)\).
4) حل في \(\mathbb{R}\) المعادلة \(\frac{A}{2} = B\).

(II نعتبر الرسم التالي حيث \(BCE\) مثلث قائم في \(C\) و \(M\) منتصف \([BE]\).
\(ABCD\) مربع مساحته \(x^2 - 4x + 4\) و \(CE = 8x + 16\) و \(x > 2\). 1) بين أن \(BC = x - 2\).
2) بين أن مساحة المثلث \(BCE\) هي \(4(x + 2)(x - 2)\).
3) أحسب \(S_{MBC}\).
4) أوجد \(x\) في حالة ربع مساحة \(MBC\) تساوي مساحة المربع \(ABCD\).

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

قبل التعويض ، انظر إن كان \(x\) يحتوي على جذر : عوّض ثمّ استعمل \((\sqrt{a})^{2}=a\) و لا تحسب بالمقرّبات.
لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
لا تحلّ معادلة من الدرجة الثانية بالنشر : فكّك أوّلا ، فجذاء يساوي صفر يعني أنّ أحد عامليه يساوي صفر.
انشر بترتيب ، حدّا بحدّ ، ثمّ اجمع الحدود المتشابهة. انتبه لإشارة الطرح أمام قوس.
كلمة « استنتج » تعني : لا تعيد الحساب ، استعمل نتيجة السؤال السابق مباشرة.
في un مثلّث قائم ، فكّر فيثاغور لربط الأضلاع ، أو عكسيتها لإثبات أنّ الزاوية قائمة.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).

الخطوة 2 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 3 : أرجع المعادلة إلى الشكل « جذاء = 0 » ثمّ استعمل : \(a\times b=0\) ⟺ \(a=0\) أو \(b=0\).

الخطوة 4 : انشر باستعمال الجذاءات المعتبرة ثمّ اجمع الحدود من نفس الدرجة.

الخطوة 5 : أعد استعمال النتيجة السابقة كما هي ، و اكتف بالخطوة الصغيرة التي تفصلها عن المطلوب.

الخطوة 6 : حدّد المثلّث القائم و رأسه القائم ، ثمّ اكتب فيثاغور : (الوتر)² = مجموع مربّعي الضلعين القائمين.

✅ الحل النهائي

إصلاح التمرين عدد 7:
I)

1) أ- \(A = 2(-1 + \sqrt{2})^2 - 8 = 2(1 - 2\sqrt{2} + 2) - 8 = 6 - 4\sqrt{2} - 8 = -2 - 4\sqrt{2}\)

ب- \(\frac{A}{2} = \frac{2(x^2 - 4)}{2} = (x - 2)(x + 2)\)

2) أ- \(B = 2(x^2 - 2x + 1) - 4x + 6 = 2x^2 - 4x + 2 - 4x + 6 = 2x^2 - 8x + 8\)

ب- \(B = 2(x^2 - 4x + 4) = 2(x - 2)^2\)

3) \(\frac{A}{2} - B = (x - 2)(x + 2) - 2(x - 2)^2 = (x - 2)[(x + 2) - 2(x - 2)]\)

\(= (x - 2)(x + 2 - 2x + 4) = (x - 2)(6 - x)\)

4) \(\frac{A}{2} = B \implies \frac{A}{2} - B = 0 \implies (x - 2)(6 - x) = 0\)

يعني \(x = 2\) أو \(x = 6\)

II)

1) \(S_{ABCD} = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2\)

بما أن \(x > 2\) فإن طول الضلع \(BC = \sqrt{(x - 2)^2} = x - 2\)

2) \(S_{BCE} = \frac{CE \times BC}{2} = \frac{(8x + 16)(x - 2)}{2} = \frac{8(x + 2)(x - 2)}{2} = 4(x + 2)(x - 2)\)

3) بما أن \(M\) منتصف \([BE]\) فإن \([CM]\) هو الموسط الموافق لـ \([BE]\) في المثلث \(BCE\)

\(S_{MBC} = \frac{S_{BCE}}{2} = 2(x + 2)(x - 2)\)

4) \(\frac{1}{4} S_{MBC} = S_{ABCD} \implies \frac{2(x + 2)(x - 2)}{4} = (x - 2)^2\)

\((x + 2)(x - 2) = 2(x - 2)^2 \implies \frac{A}{2} = B\)

وبما أن \(x > 2\) فإن الحل هو \(x = 6\)