وضعية هندسية — كلاسيكية

9 أساسيتمرين رقم 8
E A B C D x 3 − x EB = 3
تمرين 8 \(A = \frac{3}{2}x^2 - \frac{15}{2}x + 9\)

📐 نص التمرين

1) لتكن العبارة \(A = \frac{3}{2}x^2 - \frac{15}{2}x + 9\) حيث \(x \in \mathbb{R}\).
أ) احسب \(A\) إذا علمت أن \(x = 3\).
ب) بين بالنشر أن \(A = (3 - x)^2 - \frac{1}{2}x(3 - x)\).
ج) استنتج تفكيكا إلى جذاء عوامل للعبارة \(A\).

2) نعتبر الشكل التالي حيث \(ABCD\) مربع و \(EAD\) مثلث قائم الزاوية في \(A\).
و \(EB = 3\) و \(EA = x\) (\(x\) عدد حقيقي موجب أصغر من 3). ابحث عن العدد \(x\) ليكون قيس مساحة المربع \(ABCD\) يساوي قيس مساحة المثلث \(EAD\).
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • قبل التعويض ، انظر إن كان \(x\) يحتوي على جذر : عوّض ثمّ استعمل \((\sqrt{a})^{2}=a\) و لا تحسب بالمقرّبات.
  • ابحث عن فرق بين مربّعين \(a^{2}-b^{2}\) أو عن عامل مشترك ظاهر. لا تنشر قبل أن تفكّك.
  • كلمة « استنتج » تعني : لا تعيد الحساب ، استعمل نتيجة السؤال السابق مباشرة.
  • لمقارنة عددين موجبين يكفي مقارنة مربّعيهما ؛ و لإثبات أنّ عددين مقلوبان احسب جداءهما.
  • في un مثلّث قائم ، فكّر فيثاغور لربط الأضلاع ، أو عكسيتها لإثبات أنّ الزاوية قائمة.
  • ترجم المساحة إلى معادلة ، ثمّ أرجعها إلى العبارة المفكّكة في الجزء الأوّل.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).

الخطوة 2 : اكتب العبارة على شكل \(a^{2}-b^{2}\) ثمّ طبّق \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) ، أو أخرج العامل المشترك.

الخطوة 3 : أعد استعمال النتيجة السابقة كما هي ، و اكتف بالخطوة الصغيرة التي تفصلها عن المطلوب.

الخطوة 4 : قارن المربّعات إن كان العددان موجبين ، أو ادرس إشارة الفرق ، أو احسب الجداء إن كان السؤال عن المقلوب.

الخطوة 5 : حدّد المثلّث القائم و رأسه القائم ، ثمّ اكتب فيثاغور : (الوتر)² = مجموع مربّعي الضلعين القائمين.

الخطوة 6 : اكتب المساحة بدلالة \(x\) ، ساوها بالقيمة المعطاة ، ثمّ أرجع المعادلة إلى الشكل « جذاء = 0 ».

✅ الحل النهائي

إصلاح التمرين عدد 2:
1) أ) إذا كان \(x = 3\):
\(A = \frac{3}{2}(3)^2 - \frac{15}{2}(3) + 9\)
\(A = \frac{27}{2} - \frac{45}{2} + \frac{18}{2} = 0\)
ب) \((3 - x)^2 - \frac{1}{2}x(3 - x) = 9 - 6x + x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}x^2\)
\(= \frac{3}{2}x^2 - \frac{15}{2}x + 9 = A\)
ج) \(A = (3 - x)^2 - \frac{1}{2}x(3 - x)\)
\(A = (3 - x)\left[(3 - x) - \frac{1}{2}x\right]\)
\(A = (3 - x)\left(3 - \frac{3}{2}x\right)\)
2) \(S_{ABCD} = S_{AED}\)
بما أن \(AB = EB - EA = 3 - x\) فإن ضلع المربع هو \((3 - x)\)
و \(AD = AB = 3 - x\)
مساحة المربع: \(S_{ABCD} = (3 - x)^2\)
مساحة المثلث القائم: \(S_{AED} = \frac{EA \times AD}{2} = \frac{1}{2}x(3 - x)\)
\((3 - x)^2 = \frac{1}{2}x(3 - x)\)
\((3 - x)^2 - \frac{1}{2}x(3 - x) = 0\)
\(A = 0\)
\((3 - x)\left(3 - \frac{3}{2}x\right) = 0\)
يعني \(3 - x = 0\) أو \(3 - \frac{3}{2}x = 0\)
يعني \(x = 3\) أو \(x = 2\)
بما أن \(x < 3\) فإن الحل هو \(x = 2\)
1) أ) إذا كان \(x = 3\):
\(A = \frac{3}{2}(3)^2 - \frac{15}{2}(3) + 9\)
\(A = \frac{27}{2} - \frac{45}{2} + \frac{18}{2} = 0\)
ب) \((3 - x)^2 - \frac{1}{2}x(3 - x) = 9 - 6x + x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}x^2\)
\(= \frac{3}{2}x^2 - \frac{15}{2}x + 9 = A\)
ج) \(A = (3 - x)^2 - \frac{1}{2}x(3 - x)\)
\(A = (3 - x)\left[(3 - x) - \frac{1}{2}x\right]\)
\(A = (3 - x)\left(3 - \frac{3}{2}x\right)\)
2) \(S_{ABCD} = S_{AED}\)
بما أن \(AB = EB - EA = 3 - x\) فإن ضلع المربع هو \((3 - x)\)
و \(AD = AB = 3 - x\)
مساحة المربع: \(S_{ABCD} = (3 - x)^2\)
مساحة المثلث القائم: \(S_{AED} = \frac{EA \times AD}{2} = \frac{1}{2}x(3 - x)\)
\((3 - x)^2 = \frac{1}{2}x(3 - x)\)
\((3 - x)^2 - \frac{1}{2}x(3 - x) = 0\)
\(A = 0\)
\((3 - x)\left(3 - \frac{3}{2}x\right) = 0\)
يعني \(3 - x = 0\) أو \(3 - \frac{3}{2}x = 0\)
يعني \(x = 3\) أو \(x = 2\)
بما أن \(x < 3\) فإن الحل هو \(x = 2\)