نعتبر العبارة \(E = (2x - 1)(2x + 1)\) حيث \(x \in \mathbb{R}\).
الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).
الخطوة 2 : انشر باستعمال الجذاءات المعتبرة ثمّ اجمع الحدود من نفس الدرجة.
الخطوة 3 : حدّد المثلّث القائم و رأسه القائم ، ثمّ اكتب فيثاغور : (الوتر)² = مجموع مربّعي الضلعين القائمين.
الخطوة 4 : استعمل مبرهنة المنتصفين لنقل طول معلوم إلى طول مجهول.
\(E = (2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1\).
\(2x = 3 + \sqrt{3} \implies 2x - 1 = 2 + \sqrt{3}\) و \(2x + 1 = 4 + \sqrt{3}\).
\(E = 4\left(\frac{3 + \sqrt{3}}{2}\right)^2 - 1 = 4 \times \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{4} - 1 = 12 + 6\sqrt{3} - 1 = 11 + 6\sqrt{3}\).
\(4x^2 - 1 = 15 \iff 4x^2 = 16 \iff x^2 = 4 \iff x = 2\) أو \(x = -2\).
\((2x - 1)(2x + 1) = 2x + 1 \iff (2x - 1)(2x + 1) - (2x + 1) = 0\)
\((2x + 1)[(2x - 1) - 1] = 0 \iff (2x + 1)(2x - 2) = 0\)
يعني \(2x + 1 = 0\) أو \(2x - 2 = 0 \iff x = -\frac{1}{2}\) أو \(x = 1\).
يكون المثلث \(ABC\) قائم الزاوية في \(C\) إذا وفقط إذا كان الموسط الصادر من \(C\) يساوي نصف طول الوتر المقابل \([AB]\).
أي أن \(OC = \frac{AB}{2} \iff x + \frac{1}{2} = \frac{4x^2 - 1}{2}\)
\(2\left(x + \frac{1}{2}\right) = 4x^2 - 1 \iff 2x + 1 = 4x^2 - 1\)
وهي المعالجة نفسها للحالة السابقة \(E = 2x + 1\) حيث \(4x^2 - 1 = 2x + 1\).
وجدنا \(x = -\frac{1}{2}\) أو \(x = 1\).
بما أن \(x > \frac{1}{2}\) فإن القيمة المقبولة هي \(x = 1\).