وضعية هندسية — كلاسيكية

9 أساسيتمرين رقم 6
A B C M N x AB = 4 BC = 3
تمرين 6 \(AB=4\)

📐 نص التمرين

في الرسم التالي : ABC مثلث قائم في B حيث \(AB=4\) و \(BC=3\). M نقطة من [AB] بحيث \(AM=x\). المستقيم العمودي على (AB) في M يقطع [AC] في N.

  1. برهن أن \(MN = \frac{3}{4}x\)
  2. جد قيمة \(x\) بحيث تكون مساحتي المثلث AMN والرباعي MNCB متقايستان
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • في un مثلّث قائم ، فكّر فيثاغور لربط الأضلاع ، أو عكسيتها لإثبات أنّ الزاوية قائمة.
  • ترجم المساحة إلى معادلة ، ثمّ أرجعها إلى العبارة المفكّكة في الجزء الأوّل.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : حدّد المثلّث القائم و رأسه القائم ، ثمّ اكتب فيثاغور : (الوتر)² = مجموع مربّعي الضلعين القائمين.

الخطوة 2 : اكتب المساحة بدلالة \(x\) ، ساوها بالقيمة المعطاة ، ثمّ أرجع المعادلة إلى الشكل « جذاء = 0 ».

✅ الحل النهائي

  1. بما أن (MN) و (BC) عموديان على (AB)، فإن \((MN) // (BC)\). بتطبيق نظرية طاليس : \[\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC} \implies \frac{x}{4} = \frac{MN}{3} \implies MN = \frac{3}{4}x\]
  2. مساحة AMN هي \(S_1 = \frac{1}{2} \times x \times \frac{3}{4}x = \frac{3}{8}x^2\).
    مساحة ABC هي \(S = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6\).
    تتساوى مساحة AMN و MNCB إذا كانت مساحة AMN تساوي نصف مساحة ABC : \[\frac{3}{8}x^2 = 3 \implies x^2 = 8 \implies x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\]