وضعية هندسية — كلاسيكية

تمرين 5 \((4-x)^{2}-9=(1-x)(7-x)\)

بيّن أنّ \((4-x)^{2}-9=(1-x)(7-x)\) حيث \(x\) عدد حقيقي (ملاحظة : السند الأصلي يكتب \((4-x^{2})-9\) وهي غلطة مطبعيّة ، إذ أنّ \((4-x^{2})-9\neq(1-x)(7-x)\))
في الرسم التالي :
- ABC مثلث قائم الزاوية في A حيث \(AB=4\) و \(AC=8\)
- M نقطة من [AB] بحيث \(MB=x\)
- N نقطة من [AC] بحيث \((MN)//(BC)\)
أ- بين أن \(CN=2x\)
ب- بين أن قيس مساحة المثلث AMN يساوي \(\frac{1}{2}(4-x)(8-2x)\)
ج- أوجد \(x\) بحيث يكون قيس مساحة المثلث AMN يساوي 9

لم تبدأ بعد

لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
لا تحلّ معادلة من الدرجة الثانية بالنشر : فكّك أوّلا ، فجذاء يساوي صفر يعني أنّ أحد عامليه يساوي صفر.
في un مثلّث قائم ، فكّر فيثاغور لربط الأضلاع ، أو عكسيتها لإثبات أنّ الزاوية قائمة.
ترجم المساحة إلى معادلة ، ثمّ أرجعها إلى العبارة المفكّكة في الجزء الأوّل.

الخطوة 1 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 2 : أرجع المعادلة إلى الشكل « جذاء = 0 » ثمّ استعمل : \(a\times b=0\) ⟺ \(a=0\) أو \(b=0\).

الخطوة 3 : حدّد المثلّث القائم و رأسه القائم ، ثمّ اكتب فيثاغور : (الوتر)² = مجموع مربّعي الضلعين القائمين.

الخطوة 4 : اكتب المساحة بدلالة \(x\) ، ساوها بالقيمة المعطاة ، ثمّ أرجع المعادلة إلى الشكل « جذاء = 0 ».

\((4-x)^2 - 9 = (4-x-3)(4-x+3) = (1-x)(7-x)\)
أ- بتطبيق طاليس في المثلث ABC بما أن \((MN) // (BC)\) : \[\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \implies \frac{4-x}{4} = \frac{8-CN}{8} \implies 8-CN = 2(4-x) = 8-2x \implies CN = 2x\] ب- مساحة AMN : \(S = \frac{1}{2} \times AM \times AN = \frac{1}{2}(4-x)(8-2x) = (4-x)^2\)
ج- \(S = 9 \iff (4-x)^2 = 9 \iff (4-x)^2 - 9 = 0 \iff (1-x)(7-x) = 0 \iff x=1\) (لأن \(x < 4\)).