وضعية هندسية — كلاسيكية

9 أساسيتمرين رقم 4
تمرين 4 \(3x+3\)

📐 نص التمرين

مستطيل أبعاده \(3x+3\) و \(x-1\) و مربع قيس ضلعه \(2x+1\) حيث \(x\) عدد حقيقي

  1. بين أن مساحة المستطيل بدلالة \(x\) تساوي : \(3x^{2}-3\)
  2. انشر العبارة التي تعبر عن مساحة المربع بدلالة \(x\)
  3. قارن بين مساحتي المستطيل و المربع
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
  • انشر بترتيب ، حدّا بحدّ ، ثمّ اجمع الحدود المتشابهة. انتبه لإشارة الطرح أمام قوس.
  • لمقارنة عددين موجبين يكفي مقارنة مربّعيهما ؛ و لإثبات أنّ عددين مقلوبان احسب جداءهما.
  • ترجم المساحة إلى معادلة ، ثمّ أرجعها إلى العبارة المفكّكة في الجزء الأوّل.
  • لإثبات طبيعة رباعي ، اختر معيارا واحدا و طبّقه كاملا (القطران ، أو ضلعان متوازيان و متقايسان).

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 2 : انشر باستعمال الجذاءات المعتبرة ثمّ اجمع الحدود من نفس الدرجة.

الخطوة 3 : قارن المربّعات إن كان العددان موجبين ، أو ادرس إشارة الفرق ، أو احسب الجداء إن كان السؤال عن المقلوب.

الخطوة 4 : اكتب المساحة بدلالة \(x\) ، ساوها بالقيمة المعطاة ، ثمّ أرجع المعادلة إلى الشكل « جذاء = 0 ».

الخطوة 5 : تحقّق من المعيار المختار خطوة بخطوة ، ثمّ استنتج الطبيعة ثمّ الخاصّية المطلوبة.

✅ الحل النهائي

  1. مساحة المستطيل : \(S_1 = (3x+3)(x-1) = 3(x+1)(x-1) = 3(x^2-1) = 3x^2 - 3\).
  2. مساحة المربع : \(S_2 = (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1\).
  3. نقارن بين المساحتين بحساب الفرق : \[S_2 - S_1 = (4x^2 + 4x + 1) - (3x^2 - 3) = x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2\] بما أن \((x+2)^2 > 0\) لأي طول مقبول، فإن مساحة المربع أكبر دائماً من مساحة المستطيل.