وضعية هندسية — كلاسيكية

تمرين 1 \(E=(x+1)^{2}-4\)

نعتبر العبارة : \(E=(x+1)^{2}-4\) حيث \(x\) عدد حقيقي .
أ- احسب القيمة العددية للعبارة \(E\) في حالة \(x=-\frac{1}{2}\)
ب- بين أن \(E=(x-1)(x+3)\)
ج- أوجد \(x\) بحيث : \(E=0\)
نعتبر الشكل التالي حيث كلا من ABCD و EFGD مربعات حيث : \(AB=2\sqrt{2}\) و \(x\) عدد حقيقي حيث \(0 \le x \le 2\sqrt{2}-1\)
أوجد \(x\) بحيث : \(S_{EFGD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}\)

لم تبدأ بعد

قبل التعويض ، انظر إن كان \(x\) يحتوي على جذر : عوّض ثمّ استعمل \((\sqrt{a})^{2}=a\) و لا تحسب بالمقرّبات.
لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
لا تحلّ معادلة من الدرجة الثانية بالنشر : فكّك أوّلا ، فجذاء يساوي صفر يعني أنّ أحد عامليه يساوي صفر.
ترجم المساحة إلى معادلة ، ثمّ أرجعها إلى العبارة المفكّكة في الجزء الأوّل.

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).

الخطوة 2 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 3 : أرجع المعادلة إلى الشكل « جذاء = 0 » ثمّ استعمل : \(a\times b=0\) ⟺ \(a=0\) أو \(b=0\).

الخطوة 4 : اكتب المساحة بدلالة \(x\) ، ساوها بالقيمة المعطاة ، ثمّ أرجع المعادلة إلى الشكل « جذاء = 0 ».

أ- عند \(x=-\frac{1}{2}\) : \(E = (\frac{1}{2})^2 - 4 = \frac{1}{4} - 4 = -\frac{15}{4}\)
ب- \(E = (x+1-2)(x+1+2) = (x-1)(x+3)\)
ج- \(E=0 \iff x=1\) أو \(x=-3\)
مساحة المربع الكبير : \(S_{ABCD} = (2\sqrt{2})^2 = 8\).
ضلع المربع الصغير : \(ED = x+1\). مساحته : \(S_{EFGD} = (x+1)^2\).
\(S_{EFGD} = \frac{1}{2}S_{ABCD} \iff (x+1)^2 = \frac{1}{2}(8) = 4 \iff (x+1)^2 - 4 = 0 \iff E = 0\).
بما أن \(x \ge 0\)، نأخذ الحل الموجب \(x = 1\).