1) ننشر الطرفين : \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\) ، \((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\) الفرق : \(4ab\) ✓
2) \(a+b = 1\,000\,001\) و \(a-b = 999\,999\) → \(a = 1\,000\,000\) و \(b = 1\) → \(4ab = 4 \times 1\,000\,000 \times 1 = 4\,000\,000\)
3) \((a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab\) → \(18^2 - 4^2 = 4ab\) → \(ab = \dfrac{324-16}{4} = 77\)
4) حالة خاصة من 1) بـ \(b=1\) : \((a+1)^2-(a-1)^2 = 4a\)
5) \(1001^2-999^2 = (1001+999)(1001-999) = 2000 \times 2 = 4000\) أو بـ \(a=1000\) : \(4 \times 1000 = 4000\) ✓
1) إثبات \((a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab\) :
\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\] \[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\] \[(a+b)^2 - (a-b)^2 = (a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2) = 4ab \textcolor{#28a745}{\checkmark}\]
أو بالتفكيك المباشر : \[(a+b)^2 - (a-b)^2 = \big[(a+b)+(a-b)\big]\big[(a+b)-(a-b)\big] = (2a)(2b) = 4ab \textcolor{#28a745}{\checkmark}\]
2) حساب \(1\,000\,001^2 - 999\,999^2\) :
نلاحظ : \(1\,000\,001 + 999\,999 = 2\,000\,000\) و \(1\,000\,001 - 999\,999 = 2\)
\[1\,000\,001^2 - 999\,999^2 = (1\,000\,001 + 999\,999)(1\,000\,001 - 999\,999)\] \[= 2\,000\,000 \times 2 = \boxed{4\,000\,000}\]
أو باستعمال نتيجة 1) : \(a = 1\,000\,000\) ، \(b = 1\) \[4ab = 4 \times 1\,000\,000 \times 1 = 4\,000\,000\]
3) حساب \(ab\) إذا \(a+b = 18\) و \(a-b = 4\) :
من نتيجة 1) : \[(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab\] \[18^2 - 4^2 = 4ab\] \[324 - 16 = 4ab\] \[ab = \dfrac{308}{4} = \boxed{77}\]
4) إثبات \((a+1)^2 - (a-1)^2 = 4a\) :
هو حالة خاصة من 1) بـ \(b = 1\) : \[(a+1)^2 - (a-1)^2 = 4 \times a \times 1 = 4a \textcolor{#28a745}{\checkmark}\]
5) حساب \(1001^2 - 999^2\) :
\(a+1 = 1001\) و \(a-1 = 999\) → \(a = 1000\)
\[1001^2 - 999^2 = 4 \times 1000 = \boxed{4000}\]
حساب \(10001^2 - 9999^2\) :
\(a+1 = 10001\) و \(a-1 = 9999\) → \(a = 10000\)
\[10001^2 - 9999^2 = 4 \times 10000 = \boxed{40000}\]
تذكّر جيّدا :
⚠️ أخطاء شائعة يجب تجنّبها :
🎯 تمرين علاجي إضافي : احسب ذهنيّا \(503^2 - 497^2\).
(الإجابة : \((503+497)(503-497)=1000\times 6 = 6000\).)