الجذاآت المعتبرة — التمرين 4

📘 السنة 9 أساسي 🏫 المدرسة الإعدادية النموذجية ضفاف البحيرة 👨‍🏫 الأستاذ فوزي الغربي
التمرين 4 الشكل النموذجي، التفكيك وحل معادلات بالجذور

🧮 نص التمرين

\[E = 2x^2 + 6\sqrt{2}x + 5 \qquad F = (\sqrt{2}x - 3)(\sqrt{2}x + 1)\]

1- أ- أحسب \(E\) إذا كان \(x = -\sqrt{2}\)
ب- أحسب \(F\) حيث \(x = -1\)
2- أ- بيّن أن \(E = (\sqrt{2}x + 3)^2 - 4\)
ب- استنتج تفكيكاً للعبارة \(E\)
3- بيّن أن \(E + F = 2(\sqrt{2}x + 1)^2\)
4- أ- أوجد \(x\) حيث \(2x^2 + 6\sqrt{2}x + 5 = (\sqrt{2}x-3)(\sqrt{2}x+1)\)
ب- أوجد \(x\) حيث \(\sqrt{E+F} = 2\sqrt{2}\)
اكتشف الحل على ثلاث مراحل : تلميح ← خطوات ← تصحيح مفصّل

💡 تلميح — أفكار للانطلاق

  • 2-أ) انشر \((\sqrt{2}x+3)^2 - 4\) وتحقق من مساواتها لـ \(E\)
  • 2-ب) \((\sqrt{2}x+3)^2 - 4 = (\sqrt{2}x+3)^2 - 2^2\) — فرق مربعين
  • 3) احسب \(E + F\) بالنشر الكامل ثم اختصر، أو استعمل التفكيك
  • 4-ب) \(\sqrt{E+F} = 2\sqrt{2}\) → \(E+F = 8\) ← استعمل نتيجة 3)

🔢 خطوات الحل — باختصار

1-أ) \(E = 2(-\sqrt{2})^2 + 6\sqrt{2}(-\sqrt{2}) + 5 = 4 - 12 + 5 = -3\)

1-ب) \(F = (\sqrt{2}(-1)-3)(\sqrt{2}(-1)+1) = (-\sqrt{2}-3)(1-\sqrt{2})\)

2-أ) نتحقق بالنشر : \((\sqrt{2}x+3)^2 - 4 = 2x^2+6\sqrt{2}x+9-4 = 2x^2+6\sqrt{2}x+5 = E\)

2-ب) \(E = (\sqrt{2}x+3+2)(\sqrt{2}x+3-2) = (\sqrt{2}x+5)(\sqrt{2}x+1)\)

3) \(F = (\sqrt{2}x)^2 + \sqrt{2}x - 3\sqrt{2}x - 3 = 2x^2-2\sqrt{2}x-3\) → \(E+F = (2x^2+6\sqrt{2}x+5)+(2x^2-2\sqrt{2}x-3) = 4x^2+4\sqrt{2}x+2 = 2(2x^2+2\sqrt{2}x+1) = 2(\sqrt{2}x+1)^2\)

4-أ) \(E = F\) → \(E-F=0\) → utiliser les factorisations

4-ب) \(E+F = 8\) → \(2(\sqrt{2}x+1)^2 = 8\) → \((\sqrt{2}x+1)^2 = 4\)

✅ التصحيح المفصّل

1-أ) حساب \(E\) عند \(x = -\sqrt{2}\) :

\[E = 2(-\sqrt{2})^2 + 6\sqrt{2} \times (-\sqrt{2}) + 5 = 2 \times 2 - 6 \times 2 + 5 = 4 - 12 + 5 = \boxed{-3}\]

1-ب) حساب \(F\) عند \(x = -1\) :

\[F = (\sqrt{2} \times (-1) - 3)(\sqrt{2} \times (-1) + 1) = (-\sqrt{2}-3)(1-\sqrt{2})\] \[= -\sqrt{2}+2-3+3\sqrt{2} = 2\sqrt{2}-1\] \[\boxed{F = 2\sqrt{2}-1}\]

2-أ) إثبات \(E = (\sqrt{2}x+3)^2 - 4\) :

\[(\sqrt{2}x+3)^2 - 4 = 2x^2 + 6\sqrt{2}x + 9 - 4 = 2x^2 + 6\sqrt{2}x + 5 = E \textcolor{#28a745}{\checkmark}\]

2-ب) تفكيك \(E\) :

\[E = (\sqrt{2}x+3)^2 - 2^2 = \big[(\sqrt{2}x+3)+2\big]\big[(\sqrt{2}x+3)-2\big]\] \[\boxed{E = (\sqrt{2}x+5)(\sqrt{2}x+1)}\]

3) إثبات \(E + F = 2(\sqrt{2}x+1)^2\) :

ننشر \(F\) أولًا : \[F = (\sqrt{2}x-3)(\sqrt{2}x+1) = 2x^2 + \sqrt{2}x - 3\sqrt{2}x - 3 = 2x^2 - 2\sqrt{2}x - 3\]

\[E + F = (2x^2+6\sqrt{2}x+5) + (2x^2-2\sqrt{2}x-3) = 4x^2 + 4\sqrt{2}x + 2\] \[= 2(2x^2 + 2\sqrt{2}x + 1) = 2(\sqrt{2}x+1)^2 \textcolor{#28a745}{\checkmark}\]

4-أ) حل \(E = F\) :

\[E - F = 0\]

باستعمال التفكيكين : \[(\sqrt{2}x+5)(\sqrt{2}x+1) - (\sqrt{2}x-3)(\sqrt{2}x+1) = 0\] \[(\sqrt{2}x+1)\big[(\sqrt{2}x+5)-(\sqrt{2}x-3)\big] = 0\] \[(\sqrt{2}x+1)(8) = 0\] \[\sqrt{2}x + 1 = 0\] \[\boxed{x = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\]

4-ب) حل \(\sqrt{E+F} = 2\sqrt{2}\) :

\[\sqrt{E+F} = 2\sqrt{2} \Rightarrow E+F = 8\]

من 3) : \(2(\sqrt{2}x+1)^2 = 8 \Rightarrow (\sqrt{2}x+1)^2 = 4\)

\[\sqrt{2}x+1 = 2 \quad \text{أو} \quad \sqrt{2}x+1 = -2\]

\[\sqrt{2}x = 1 \quad \text{أو} \quad \sqrt{2}x = -3\]

\[\boxed{x = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{أو} \quad x = \dfrac{-3}{\sqrt{2}} = \dfrac{-3\sqrt{2}}{2}}\]

🩺 تذكير وعلاج

تذكّر جيّدا :

  • المتطابقات : \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) و \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).
  • فرق مربّعين : \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).
  • انتبه : \((\sqrt{2}\,x)^2 = 2x^2\) وليس \(\sqrt{2}\,x^2\).
  • لحل \(\sqrt{X}=k\) مع \(k\ge 0\) : نربّع الطرفين فنجد \(X=k^2\).
  • لحل \(u^2=c\) مع \(c>0\) : \(u=\sqrt{c}\) أو \(u=-\sqrt{c}\).

⚠️ أخطاء شائعة يجب تجنّبها :

  • كتابة \((\sqrt{2}x)^2 = \sqrt{2}x^2\) (خطأ) بدل \(2x^2\).
  • نسيان الحل الثاني \(-\) عند حل \(u^2=c\).
  • نسيان تربيع الطرفين في \(\sqrt{E+F}=2\sqrt{2}\).

🎯 تمرين علاجي إضافي : ليكن \(P = (\sqrt{3}\,x+2)^2-1\). 1) أنشر واختصر \(P\). 2) فكّك \(P\).
(الإجابة : \(P = 3x^2+4\sqrt{3}x+3\) ، \(P=(\sqrt{3}x+1)(\sqrt{3}x+3)\).)

🏠 الفهرس ➡️ التمرين 5