الجذاآت المعتبرة — التمرين 11

✅ التصحيح المفصّل

I-أ) حساب \(A\) عند \(x = 3\) :

\[A = \dfrac{3}{2}(9)-\dfrac{15}{2}(3)+9 = \dfrac{27}{2}-\dfrac{45}{2}+9 = \dfrac{27-45}{2}+9 = -9+9 = \boxed{0}\]

I-ب) إثبات \(A = (3-x)^2-\dfrac{1}{2}x(3-x)\) :

\[(3-x)^2-\dfrac{1}{2}x(3-x) = 9-6x+x^2-\dfrac{3x}{2}+\dfrac{x^2}{2}\] \[= x^2+\dfrac{x^2}{2}-6x-\dfrac{3x}{2}+9 = \dfrac{3}{2}x^2-\dfrac{15}{2}x+9 = A \textcolor{#28a745}{\checkmark}\]

I-ج) تفكيك \(A\) :

\[A = (3-x)\left[(3-x)-\dfrac{x}{2}\right] = (3-x)\left(3-x-\dfrac{x}{2}\right) = (3-x)\left(3-\dfrac{3x}{2}\right)\] \[= (3-x) \cdot \dfrac{3}{2}(2-x)\] \[\boxed{A = \dfrac{3}{2}(3-x)(2-x)}\]

II) المسألة الهندسية :

المثلث \(EAB\) قائم في \(A\) : \(EA = x\)، \(EB = 3\) بمبرهنة فيثاغورس : \[AB^2 = EB^2-EA^2 = 9-x^2\]

\(ABCD\) مربع → مساحته = \(AB^2 = 9-x^2\)

في المثلث \(EAD\) : قائم في \(A\)، \(EA = x\)، \(AD = AB = \sqrt{9-x^2}\) \[\mathcal{A}_{EAD} = \dfrac{1}{2} \cdot EA \cdot AD = \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot \sqrt{9-x^2}\]

نساوي مساحة المربع بمساحة المثلث : \[9-x^2 = \dfrac{1}{2}x\sqrt{9-x^2}\] \[\sqrt{9-x^2}\left(\sqrt{9-x^2}-\dfrac{x}{2}\right) = 0\]

بما أن \(0 < x < 3\) → \(\sqrt{9-x^2} > 0\) → نقسم : \[\sqrt{9-x^2} = \dfrac{x}{2}\] \[9-x^2 = \dfrac{x^2}{4}\] \[36-4x^2 = x^2\] \[5x^2 = 36\] \[x^2 = \dfrac{36}{5}\] \[\boxed{x = \dfrac{6}{\sqrt{5}} = \dfrac{6\sqrt{5}}{5}}\]