تقييم في الرياضيات

الإعدادية النموذجية - مدنين-
الأستاذ: علوان

تقييم في الرياضيات
التاسعة أساسي

التاريخ: جوان 2020

التمرين الأول (3 ن)

ABC مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية A و D منتصف [BC] و \(E \in [AB]\) و \((ED) \perp (AB)\). اذا كان: \(AB = 50\text{cm}\) و \(EB = 18\text{cm}\) فإنّ:
أ) \(BC = 60\text{cm}\) ب) \(BC = 50\text{cm}\) ج) \(BC = 12\sqrt{5}\text{cm}\)
إذا كان IJKL متوازي أضلاع و G مركز ثقل المثلث IJK فإن احداثيات النقطة G في المعين (L; I; K) هي:
أ) \((\frac{1}{3}, \frac{2}{3})\) ب) \((-\frac{2}{3}, -\frac{1}{3})\) ج) \((\frac{2}{3}, -\frac{1}{3})\)
اذا كان x عددا حقيقيا حيث: \( x(2-\sqrt{5})^{-2019} < (2+\sqrt{5})^{2021} \) فإنّ:
أ) \(x > 4\sqrt{5}+9\) ب) \(x > -4\sqrt{5}-9\) ج) \(x < 4\sqrt{5}+9\)
القاسم المشترك الأكبر للعددين \( 32^{403}-8^{673} \) و \( 2 \times 3^{2018} + 3^{2019} \) هو:
أ) 12 ب) 15 ج) 9
ليكن (O; I; J) معينا في المستوي و النقاط \( A(-1;\sqrt{18}) \) و \( B(-6;\sqrt{8}-1) \) و \( C(-5;-\sqrt{2}) \). فإنّ:
أ) (AJ)//(BC) ب) (AI)//(BC) ج) (AJ) و (BC) متقاطعان

التمرين الثاني (4 ن)

نعتبر العددين الحقيقيين: \( a = \frac{8-(\sqrt{5}-1)^2}{4} \) و \( b = \sqrt{45}-\sqrt{20}-\frac{2}{\sqrt{5}-1} \)

أ) بيّن أنّ: \( a = \frac{\sqrt{5}+1}{2} \) و \( b = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \).
- أ) بيّن أنّ: a مقلوب b وأن \( a = \frac{\sqrt{5}+3}{2} \) (خطأ مطبعي في السؤال الأصلي)، استنتج القيمة العددية لـ \(a^2\).
- ب) احسب \( c = 2^{-1011} \times (\sqrt{5}+3)^{1010} \times b^{2019} \).
لاحظ الرسم المصاحب حيث ABC مثلث قائم الزاوية في B و \(AB=2BC\) و \(BC=x\) عدد حقيقي موجب. والدائرة التي مركزها C وتمر من B تقطع [AC] في D. والدائرة التي مركزها A وتمر من D تقطع [AB] في M.
- أ) اكتب AB و AC و AM و BM بدلالة x.
- ب) بيّن أنّ \( \frac{AM}{BM}=a \).

التمرين الثالث: (4 ن)

نعتبر العبارة \( E = -x^2+5x+50 \) حيث x عدد حقيقي.

احسب القيمة العددية للعبارة E في حالة \( x = \sqrt{2}-1 \).
بيّن أنّ \( E = \frac{225}{4} - \left(x-\frac{5}{2}\right)^2 \).
استنتج تفكيكا إلى جذاء عوامل للعبارة E، حل في \( \mathbb{R} \) المعادلة \(E=0\).

تصحيح مفصل للتمارين

تصحيح التمرين الأول

1) الإجابة (أ). المثلث ABD قائم في D (لأن (AD) ارتفاع). \(AB=50\). في المثلث القائم EBD: \(BD^2 = BE^2+ED^2 = 18^2+ED^2\). في المثلث القائم AED: \(AD^2=AE^2+ED^2=(32)^2+ED^2\). لدينا \(AE=AB-EB=50-18=32\). بطرح المعادلتين: \(AD^2-BD^2=32^2-18^2=700\). في المثلث القائم ABD: \(AB^2=AD^2+BD^2=50^2=2500\). بحل الجملة، نجد \(2AD^2=3200 \implies AD=40\). إذن \(BD^2=2500-1600=900 \implies BD=30\). بما أن ABC متقايس الضلعين و D منتصف [BC]، فإن \(BC=2BD=60\).

2) (سؤال غامض). في المعين (L; I; K)، الإحداثيات هي بالنسبة للمتجهين \(\vec{LI}\) و \(\vec{LK}\). I(1,0), K(0,1), L(0,0). J هي \(I+K\) أي J(1,1). مركز ثقل IJK هو \(G = \frac{1}{3}(I+J+K) = \frac{1}{3}((1,0)+(1,1)+(0,1)) = \frac{1}{3}(2,2) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3})\). لا يوجد خيار صحيح.

3) (سؤال به خطأ مطبعي). بالصيغة الصحيحة \( x(2-\sqrt{5}) < -(2+\sqrt{5})^2 \). نقسم على \(2-\sqrt{5}\) (عدد سالب) ونعكس اتجاه المتراجحة: \( x > \frac{-(2+\sqrt{5})^2}{2-\sqrt{5}} = \frac{-(9+4\sqrt{5})}{2-\sqrt{5}} = \frac{(9+4\sqrt{5})(2+\sqrt{5})}{( \sqrt{5}-2)( \sqrt{5}+2)} = 18+9\sqrt{5}+8\sqrt{5}+20 = 38+17\sqrt{5}\).

4) الإجابة (ب). العدد الأول هو \( 2^{2015} - 2^{2019} = -15 \times 2^{2015} \). العدد الثاني هو \( 3^{2018}(2+3) = 5 \times 3^{2018} \). القاسم المشترك الأكبر هو \( \text{GCD}(15, 5 \times 3^{2018}) = 15 \).

5) الإجابة (أ). \(A(-1, 3\sqrt{2})\), \(B(-6, 2\sqrt{2}-1)\), \(C(-5, -\sqrt{2})\). J(0,1). ميل (AJ) هو \( \frac{1-3\sqrt{2}}{1} = 1-3\sqrt{2} \). ميل (BC) هو \( \frac{-\sqrt{2}-(2\sqrt{2}-1)}{-5-(-6)} = -3\sqrt{2}+1 \). الميلان متساويان إذن (AJ)//(BC).

تصحيح التمرين الثاني

1.أ) \( a = \frac{8-(6-2\sqrt{5})}{4} = \frac{2+2\sqrt{5}}{4} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \).
\( b = \sqrt{45}-\sqrt{20}-\frac{2(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \sqrt{5} - \frac{\sqrt{5}+1}{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \).

2.أ) \( a \times b = \frac{5-1}{4}=1 \). إذن a مقلوب b. (العبارة الأخرى المعطاة لـ a خاطئة). \( a^2 = (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{1+2\sqrt{5}+5}{4} = \frac{6+2\sqrt{5}}{4} = \frac{3+\sqrt{5}}{2} \).

2.ب) \( c = 2^{-1011} \times (2a^2)^{1010} \times b^{2019} = 2^{-1} a^{2020} b^{2019} = \frac{1}{2} a = \frac{1+\sqrt{5}}{4} \).

3.أ) \(BC=x\), \(AB=2x\). \(AC=\sqrt{(2x)^2+x^2}=x\sqrt{5}\). \(CD=CB=x\), \(AD=AC-CD=x(\sqrt{5}-1)\). \(AM=AD=x(\sqrt{5}-1)\). \(BM = AB-AM=2x-x(\sqrt{5}-1)=x(3-\sqrt{5})\).

3.ب) \( \frac{AM}{BM} = \frac{x(\sqrt{5}-1)}{x(3-\sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{5}-1)(3+\sqrt{5})}{9-5} = \frac{2\sqrt{5}+2}{4} = \frac{\sqrt{5}+1}{2} = a \).

تصحيح التمرين الثالث

1) \( E = -(\sqrt{2}-1)^2+5(\sqrt{2}-1)+50 = -(3-2\sqrt{2})+5\sqrt{2}-5+50 = -3+2\sqrt{2}+5\sqrt{2}+45 = 42+7\sqrt{2} \).

2) \( \frac{225}{4} - (x^2-5x+\frac{25}{4}) = \frac{200}{4}-x^2+5x = 50-x^2+5x=E \).

3) \( E = (\frac{15}{2})^2-(x-\frac{5}{2})^2 = (\frac{15}{2}-x+\frac{5}{2})(\frac{15}{2}+x-\frac{5}{2}) = (10-x)(5+x) \).
\(E=0 \implies x=10\) أو \(x=-5\).