ABC مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية A و H منتصف [BC] بحيث \(BC=6\) و \(AH=4\).
لتكن J منتصف [AC] و E المسقط العمودي لـ H على (AC).
بيّن أنّ \(AC=5\) و \(EH=2.4\).
بيّن أنّ \(AE=3.2\).
الموسط العمودي Δ لـ [AC] يقطع (AH) في O.
بيّن أنّ O هي مركز الدائرة ℭ المحيطة بالمثلث ABC.
لتكن D نقطة من نصف المستقيم [AH) بحيث \(AD = \frac{25}{4}\).
أ) بيّن أنّ \(BD = \frac{15}{4}\).
ب) استنتج أنّ المستقيم (BD) مماس للدائرة ℭ' المحيطة بالمثلث ABH.
تمرين عدد 9
ليكن ABC مثلث بحيث \(AB=4,5\text{cm}\) ، \(AC=6\text{cm}\) و \(BC=7,5\text{cm}\).
بيّن أنّ المثلث ABC قائم الزاوية ثم ارسم هذا المثلث.
ارسم الدائرة ℭ التي قطرها [AB] ومركزها O. ℭ تقطع [BC] في نقطة D.
أ) بيّن ان المثلث ABD قائم الزاوية.
ب) استنتج ان \(AD=3,6\text{cm}\).
ج) بيّن ان \(DB=2,7\text{cm}\).
تمرين عدد 10
ADE مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية D حيث \(AD=DE=5\text{cm}\) و \(AE=6\text{cm}\).
لتكن I منتصف [AE] والنقطة M مناظرة D بالنسبة إلى I.
أ) بيّن أن الرباعي ADEM معين.
ب) أحسب مساحة المعين ADEM.
ارسم الدائرة ℭ التي قطرها [MD]. ℭ تقطع (AE) في نقطتين J و K.
أ) بيّن أن الرباعي DJMK مربع.
ب) أحسب مساحة المربع DJMK.
تصحيح مفصل للتمارين
تصحيح تمرين عدد 8
حساب AC و EH:
بما أن ABC مثلث متقايس الضلعين في A و H منتصف [BC]، فإن (AH) هو الموسط العمودي لـ [BC]. إذن المثلث AHC قائم في H.
لدينا \(HC = BC/2 = 6/2 = 3\).
حسب مبرهنة فيثاغورس في المثلث AHC: \(AC^2 = AH^2 + HC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25\). إذن \(AC = \sqrt{25} = 5\).
لحساب EH، نحسب مساحة المثلث AHC بطريقتين:
المساحة = \(\frac{1}{2} \times AH \times HC = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6\).
المساحة = \(\frac{1}{2} \times AC \times EH = \frac{1}{2} \times 5 \times EH\).
إذن \( \frac{5}{2} EH = 6 \)، مما يعني \( EH = \frac{6 \times 2}{5} = \frac{12}{5} = 2.4 \).
حساب AE:
المثلث AEH قائم في E لأن E هي المسقط العمودي لـ H على (AC).
حسب مبرهنة فيثاغورس: \( AH^2 = AE^2 + EH^2 \).
\( AE^2 = AH^2 - EH^2 = 4^2 - (2.4)^2 = 16 - 5.76 = 10.24 \).
\( AE = \sqrt{10.24} = 3.2 \).
مركز الدائرة المحيطة:
الموسط العمودي Δ لـ [AC] يمر بمركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC.
بما أن المثلث ABC متقايس الضلعين في A، فإن الموسط (AH) هو أيضا الموسط العمودي للضلع [BC].
بما أن O نقطة تقاطع الموسطين العموديين (Δ و (AH))، فإن O هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC.
أ) حساب BD:
النقط A, H, D على استقامة واحدة. المثلث BHD قائم في H.
لدينا \( BH = 3 \). و \( HD = AD - AH = \frac{25}{4} - 4 = \frac{25-16}{4} = \frac{9}{4} \).
حسب مبرهنة فيثاغورس في المثلث BHD: \( BD^2 = BH^2 + HD^2 = 3^2 + (\frac{9}{4})^2 = 9 + \frac{81}{16} = \frac{144+81}{16} = \frac{225}{16} \).
\( BD = \sqrt{\frac{225}{16}} = \frac{15}{4} \).
ب) استنتاج المماس:
الدائرة ℭ' المحيطة بالمثلث القائم ABH، قطرها هو الوتر [AB].
لإثبات أن (BD) مماس لـ ℭ'، يجب أن نثبت أن الزاوية التي يكونها المماس (BD) مع الوتر (BH) تساوي الزاوية المحيطية التي تحصر نفس الوتر، أي نثبت أن \( \angle DBH = \angle HAB \).
في المثلث القائم BHD، لدينا: \( \tan(\angle DBH) = \frac{HD}{BH} = \frac{9/4}{3} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \).
في المثلث القائم ABH، لدينا: \( \tan(\angle HAB) = \frac{HB}{AH} = \frac{3}{4} \).
بما أن \( \tan(\angle DBH) = \tan(\angle HAB) \)، فإن \( \angle DBH = \angle HAB \). إذن (BD) مماس للدائرة ℭ'.
تصحيح تمرين عدد 9
طبيعة المثلث ABC:
نقارن \(BC^2\) مع \(AB^2 + AC^2\).
\( BC^2 = (7.5)^2 = 56.25 \).
\( AB^2 + AC^2 = (4.5)^2 + 6^2 = 20.25 + 36 = 56.25 \).
بما أن \( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)، فإنه حسب مبرهنة فيثاغورس العكسية، المثلث ABC قائم الزاوية في A.
أ) طبيعة المثلث ABD:
النقطة D تنتمي للدائرة ℭ التي قطرها [AB]. أي مثلث رؤوسه على دائرة وأحد أضلاعه قطر فيها يكون مثلثا قائما.
إذن المثلث ABD قائم الزاوية في D.
ب) حساب AD:
في المثلث الكبير ABC القائم في A، (AD) هو الارتفاع الصادر من A.
مساحة المثلث ABC: \( \text{Area} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 4.5 \times 6 = 13.5 \).
أيضا، \( \text{Area} = \frac{1}{2} \times BC \times AD = \frac{1}{2} \times 7.5 \times AD \).
إذن \( 13.5 = 3.75 \times AD \)، وبالتالي \( AD = \frac{13.5}{3.75} = 3.6 \text{ cm} \).
ج) حساب DB:
في المثلث ABD القائم في D، حسب مبرهنة فيثاغورس: \( AB^2 = AD^2 + DB^2 \).
\( DB^2 = AB^2 - AD^2 = (4.5)^2 - (3.6)^2 = 20.25 - 12.96 = 7.29 \).
\( DB = \sqrt{7.29} = 2.7 \text{ cm} \).
تصحيح تمرين عدد 10
أ) طبيعة الرباعي ADEM:
I هي منتصف [AE] (معطى). M مناظرة D بالنسبة إلى I يعني أن I هي أيضا منتصف [DM].
الرباعي ADEM له قطران [AE] و [DM] يتقاطعان في منتصفهما I، إذن هو متوازي أضلاع.
بما أن المثلث ADE متقايس الضلعين في D، فإن \(AD=DE=5\).
متوازي الأضلاع ADEM له ضلعان متتاليان متقايسان (AD و DE)، إذن هو معين.
ب) مساحة المعين ADEM:
مساحة المعين هي نصف جداء قطريه: \( \text{Area} = \frac{1}{2} \times AE \times DM \).
لدينا \(AE=6\). نحتاج لحساب DM.
في المثلث المتقايس الضلعين ADE، المتوسط (DI) هو أيضا ارتفاع، إذن المثلث ADI قائم في I.
في المثلث ADI، \( AI = AE/2 = 6/2 = 3 \).
حسب فيثاغورس: \( AD^2 = AI^2 + DI^2 \implies DI^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 \). إذن \(DI=4\).
بما أن I منتصف DM، فإن \(DM = 2 \times DI = 2 \times 4 = 8\).
المساحة = \( \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \text{ cm}^2 \).
أ) طبيعة الرباعي DJMK:
القطران هما [DM] و [JK].
- مركز الدائرة ℭ هو I (منتصف القطر [MD]). المستقيم (AE) الذي يحمل القطعة [JK] يمر بالمركز I، إذن [JK] هو قطر للدائرة ℭ.
- إذن القطران [DM] و [JK] لهما نفس المنتصف I ونفس الطول (لأنهما قطران في نفس الدائرة).
- في المعين ADEM، القطران متعامدان، إذن (DM) ⊥ (AE). بما أن [JK] محمول على (AE)، فإن (DM) ⊥ (JK).
الرباعي DJMK له قطران متناصفان، متقايسان، ومتعامدان، إذن هو مربع.
ب) مساحة المربع DJMK:
طول القطر \(DM=8\). إذن \(JK=8\) أيضا.
المساحة = \( \frac{1}{2} \times DM \times JK = \frac{1}{2} \times 8 \times 8 = 32 \text{ cm}^2 \).