تصحيح التمرين 2
السؤال 1
أ) تبسيط a و b:
لدينا \( a=9-(\sqrt{50}-\sqrt{81})-\sqrt{18} \).
\[ \sqrt{50}=\sqrt{25 \times 2}=5\sqrt{2} \]
\[ \sqrt{81}=9 \]
\[ \sqrt{18}=\sqrt{9 \times 2}=3\sqrt{2} \]
إذن، \( a = 9 - (5\sqrt{2} - 9) - 3\sqrt{2} = 9 - 5\sqrt{2} + 9 - 3\sqrt{2} = 18 - 8\sqrt{2} \).
ولدينا \( b=(1+\sqrt{2})^2 \).
\[ b = 1^2 + 2(1)(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3+2\sqrt{2} \]
ب) مقارنة a و b:
لمقارنة عددين، ندرس إشارة فرقهما.
\[ a-b = (18-8\sqrt{2}) - (3+2\sqrt{2}) = 18-8\sqrt{2} - 3 - 2\sqrt{2} = 15 - 10\sqrt{2} \]
لمعرفة إشارة هذا الفرق، نقارن 15 و \(10\sqrt{2}\).
\[ 15^2 = 225 \]
\[ (10\sqrt{2})^2 = 100 \times 2 = 200 \]
بما أن \(225 > 200\)، فإن \(15 > 10\sqrt{2}\).
إذن \(15 - 10\sqrt{2} > 0\)، وبالتالي \( a-b > 0 \)، أي \(a>b\).
السؤال 2
أ) حساب الجداء ab:
\[ ab = (18-8\sqrt{2})(3+2\sqrt{2}) = 18 \times 3 + 18 \times 2\sqrt{2} - 8\sqrt{2} \times 3 - 8\sqrt{2} \times 2\sqrt{2} \]
\[ = 54 + 36\sqrt{2} - 24\sqrt{2} - 16 \times 2 = 54 + 12\sqrt{2} - 32 = 22 + 12\sqrt{2} \]
من جهة أخرى، ننشر \( (2+3\sqrt{2})^2 \):
\[ (2+3\sqrt{2})^2 = 2^2 + 2(2)(3\sqrt{2}) + (3\sqrt{2})^2 = 4 + 12\sqrt{2} + 9 \times 2 = 4 + 12\sqrt{2} + 18 = 22 + 12\sqrt{2} \]
إذن، نستنتج أن \( ab=(2+3\sqrt{2})^2 \).
ب) مقارنة 18 و \(8\sqrt{2}\):
نقارن مربعيهما:
\[ 18^2 = 324 \]
\[ (8\sqrt{2})^2 = 64 \times 2 = 128 \]
بما أن \(324 > 128\) والعددان موجبان، فإن \(18 > 8\sqrt{2}\).
السؤال 3
أ) تبيين أن \( (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 \) عدد صحيح طبيعي:
\[ (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab} \]
نحسب \(a+b\):
\[ a+b = (18-8\sqrt{2}) + (3+2\sqrt{2}) = 21 - 6\sqrt{2} \]
ونعلم من السؤال 2 أن \( ab=(2+3\sqrt{2})^2 \)، إذن \(\sqrt{ab} = \sqrt{(2+3\sqrt{2})^2} = 2+3\sqrt{2}\).
نعوض في المجموع:
\[ (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = (21 - 6\sqrt{2}) + 2(2+3\sqrt{2}) = 21 - 6\sqrt{2} + 4 + 6\sqrt{2} = 25 \]
بما أن 25 عدد صحيح طبيعي، فإن \( (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 \in \mathbb{N} \).
ب) استنتاج قيمة \( \sqrt{a} \):
لدينا \( a = 18-8\sqrt{2} \). لنبين أن \( (4-\sqrt{2})^2 \) يساوي a.
\[ (4-\sqrt{2})^2 = 4^2 - 2(4)(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 16 - 8\sqrt{2} + 2 = 18-8\sqrt{2} \]
بما أن \( (4-\sqrt{2})^2 = a \) و \( 4-\sqrt{2} > 0 \) (لأن \(4^2=16 > (\sqrt{2})^2=2\))، فإن الجذر التربيعي لـ a هو:
\[ \sqrt{a} = 4-\sqrt{2} \]
السؤال 4
أ) حساب LI و KP و HP:
- حساب LI: G هي مركز ثقل المثلث LPK و I منتصف [KP]. إذن [LI] هو المتوسط الصادر من L. نعلم أن مركز الثقل يقع على ثلثي المتوسط انطلاقاً من الرأس. إذن:
\[ LG = \frac{2}{3} LI \implies LI = \frac{3}{2} LG \]
\[ LI = \frac{3}{2} (7-2\sqrt{2}) = \frac{21}{2} - 3\sqrt{2} \]
- حساب KP: في المثلث القائم LPK، المتوسط المتعلق بالوتر [KP] يساوي نصف طول هذا الوتر. إذن:
\[ LI = \frac{1}{2} KP \implies KP = 2 \cdot LI \]
\[ KP = 2 \left( \frac{21}{2} - 3\sqrt{2} \right) = 21 - 6\sqrt{2} \]
- حساب HP: H هو المسقط العمودي لـ L على [KP]. لدينا \( KP = HK + HP \).
\[ HP = KP - HK = (21-6\sqrt{2}) - (3+2\sqrt{2}) = 21-6\sqrt{2} - 3 - 2\sqrt{2} = 18-8\sqrt{2} \]
(ملاحظة: نرى أن \(HP=a\) و \(HK=b\) من السؤال الأول).
ب) استنتاج قيمة LH:
في المثلث القائم LPK، الارتفاع [LH] المتعلق بالوتر [KP] يحقق العلاقة المترية: \( LH^2 = HK \times HP \).
\[ LH^2 = (3+2\sqrt{2})(18-8\sqrt{2}) \]
هذا الجداء هو \( b \times a = ab \). من السؤال 2، نعلم أن \( ab = (2+3\sqrt{2})^2 \).
إذن:
\[ LH^2 = (2+3\sqrt{2})^2 \]
بما أن LH طول، فهو موجب.
\[ LH = 2+3\sqrt{2} \]