إذا كانت العبارة \( E = x^2 - 10x + 9 \)
احسب القيمة العددية للعبارة \( E \) عندما \( x = -1 - \sqrt{2} \)
\[ E = (-1 - \sqrt{2})^2 - 10(-1 - \sqrt{2}) + 9 \]
\[ = (1 + 2\sqrt{2} + 2) + 10 + 10\sqrt{2} + 9 \]
\[ = (3 + 2\sqrt{2}) + 10 + 10\sqrt{2} + 9 \]
\[ = 3 + 10 + 9 + 2\sqrt{2} + 10\sqrt{2} \]
\[ = 22 + 12\sqrt{2} \]
الجواب النهائي: \(\boxed{22 + 12\sqrt{2}}\)
1. بين أن \( (x-5)^2 = E + 16 \)
2. استنتج تحليل العبارة \( E \)
3. حل المعادلة \( x^2 - 10x + 9 = 0 \)
\[ E + 16 = x^2 - 10x + 9 + 16 \]
\[ = x^2 - 10x + 25 \]
\[ = (x - 5)^2 \]
\[ E = (x - 5)^2 - 16 \]
\[ = (x - 5)^2 - 4^2 \]
\[ = (x - 5 - 4)(x - 5 + 4) \]
\[ = (x - 9)(x - 1) \]
التحليل النهائي: \(\boxed{(x - 9)(x - 1)}\)
\[ x^2 - 10x + 9 = 0 \]
\[ (x - 9)(x - 1) = 0 \]
\[ x - 9 = 0 \quad \text{أو} \quad x - 1 = 0 \]
\[ x = 9 \quad \text{أو} \quad x = 1 \]
الحلول: \(\boxed{1}\) و \(\boxed{9}\)
ليكن \( ABCD \) مستطيلاً حيث \( AB = 10 \) سم و \( BC = 3 \) سم.
\( M \) نقطة من \( [DC] \) حيث \( DM = x \) و \( 0 < x < 10 \).
بين أن \( AM^2 + BM^2 = 2x^2 - 20x + 118 \)
أوجد قيم \( x \) التي تجعل المستقيمين \( (AM) \) و \( (BM) \) متعامدين.
\[ AM^2 = AD^2 + DM^2 \]
\[ = 3^2 + x^2 \]
\[ = 9 + x^2 \]
\[ MC = DC - DM = 10 - x \]
\[ BM^2 = BC^2 + MC^2 \]
\[ = 3^2 + (10 - x)^2 \]
\[ = 9 + (100 - 20x + x^2) \]
\[ = x^2 - 20x + 109 \]
\[ AM^2 + BM^2 = (9 + x^2) + (x^2 - 20x + 109) \]
\[ = 2x^2 - 20x + 118 \]
حسب نظرية فيثاغورس في المثلث \( AMB \):
\[ AB^2 = AM^2 + BM^2 \]
\[ 10^2 = 2x^2 - 20x + 118 \]
\[ 100 = 2x^2 - 20x + 118 \]
\[ 2x^2 - 20x + 18 = 0 \]
\[ x^2 - 10x + 9 = 0 \]
\[ (x - 9)(x - 1) = 0 \]
\[ x = 9 \quad \text{أو} \quad x = 1 \]
قيم \( x \): \(\boxed{1}\) و \(\boxed{9}\)