حل التمرين الجبري

التمرين

\( x \) عدد حقيقي

لتكن العبارتان:

\[ A = 4 - 9x^2 \] \[ B = (3x - 2)^2 + 9x - 6 \]
1. احسب \( B \) إذا كان \( x = \frac{-\sqrt{2}}{3} \)

الحل:

\[ \begin{aligned} B &= (3x - 2)^2 + 9x - 6 \\ &= \left(3 \cdot \frac{-\sqrt{2}}{3} - 2\right)^2 + 9 \cdot \frac{-\sqrt{2}}{3} - 6 \\ &= (-\sqrt{2} - 2)^2 - 3\sqrt{2} - 6 \\ &= (\sqrt{2} + 2)^2 - 3\sqrt{2} - 6 \\ &= (2 + 4\sqrt{2} + 4) - 3\sqrt{2} - 6 \\ &= 6 + 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} - 6 \\ &= \sqrt{2} \end{aligned} \]
2. فكك \( A \) إلى جداء عوامل

الحل:

\[ \begin{aligned} A &= 4 - 9x^2 \\ &= 2^2 - (3x)^2 \\ &= (2 - 3x)(2 + 3x) \quad \text{(باستخدام الفرق بين مربعين)} \end{aligned} \]
3. بين أن \( B = (3x - 2)(3x + 1) \)

الحل:

نبدأ بإعادة كتابة \( B \) كالتالي:

\[ B = (3x - 2)^2 + 9x - 6 = (3x - 2)^2 + 3(3x - 2) \]

نأخذ العامل المشترك \( (3x - 2) \):

\[ B = (3x - 2)^2 + 3(3x - 2) = (3x - 2) \big[(3x - 2) + 3\big] \] \[ B = (3x - 2)(3x + 1) \]
4. فكك إلى جداء عوامل العبارة \( A - B \)

الحل:

باستخدام النتائج السابقة:

\[ A = (2 - 3x)(2 + 3x), \quad B = (3x - 2)(3x + 1) \]

نلاحظ أن \( 3x - 2 = -(2 - 3x) \)، إذن:

\[ A - B = (2 - 3x)(2 + 3x) - (3x - 2)(3x + 1) = (2 - 3x)(2 + 3x) - [-(2 - 3x)](3x + 1) \] \[ A - B = (2 - 3x)(2 + 3x) + (2 - 3x)(3x + 1) = (2 - 3x)\big[(2 + 3x) + (3x + 1)\big] \] \[ A - B = (2 - 3x)(6x + 3) = 3(2 - 3x)(2x + 1) \]
5. استنتج مجموعة الأعداد الحقيقية \( x \) حيث \( B = A \)

الحل:

نبدأ بالمساواة:

\[ A = B \iff A - B = 0 \]

وباستخدام التحليل السابق:

\[ A - B = 3(2 - 3x)(2x + 1) = 0 \]

نحل كل عامل على حدة:

\[ 3 = 0 \quad \text{(مستحيل)} \] \[ 2 - 3x = 0 \implies x = \frac{2}{3} \] \[ 2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2} \]

إذاً مجموعة الحلول هي:

\[ \left\{ -\frac{1}{2}, \frac{2}{3} \right\} \]