حل التمرين الجبري

الحل:

أولاً نحسب قيمة \( x \):

\[ x = -3^{-1} = -\frac{1}{3} \]

الآن نحسب \( E \):

\[ \begin{align*} E &= 3\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + 2 \\ &= 3\left(\frac{1}{9}\right) + 2 \\ &= \frac{3}{9} + 2 \\ &= \frac{1}{3} + 2 \\ &= \frac{7}{3} \end{align*} \]

الحل:

\[ \begin{align*} 3(x - 15)(x + 15) &= 3(x^2 - 225) \\ &= 3x^2 - 675 \end{align*} \]

الحل:

نبدأ من الطرف الأيسر:

\[ E - 677 = 3x^2 + 2 - 677 = 3x^2 - 675 \]

الطرف الأيمن:

\[ 3(x - 15)(x + 15) = 3(x^2 - 225) = 3x^2 - 675 \]

إذن:

\[ E - 677 = 3x^2 - 675 = 3(x - 15)(x + 15) \]

وهو المطلوب إثباته.

الحل:

نفكك الطرف الأيمن:

\[ \begin{align*} (x + 1)^2 + x^2 + (x - 1)^2 &= (x^2 + 2x + 1) + x^2 + (x^2 - 2x + 1) \\ &= x^2 + 2x + 1 + x^2 + x^2 - 2x + 1 \\ &= 3x^2 + 2 \\ &= E \end{align*} \]

وهو المطلوب إثباته.

الحل:

نعلم من السابق أن:

\[ (x + 1)^2 + x^2 + (x - 1)^2 = 3x^2 + 2 = 677 \] \[ 3x^2 = 675 \Rightarrow x^2 = 225 \Rightarrow x = 15 \]

إذن الأعداد الثلاثة هي:

\[ x - 1 = 14, \quad x = 15, \quad x + 1 = 16 \]

نتحقق:

\[ 14^2 + 15^2 + 16^2 = 196 + 225 + 256 = 677 \]

إذن الأعداد المطلوبة هي: 14، 15، 16