التصحيح:

لدينا $$E = (x + 1)^2 - 9$$

عندما $$x = 2\sqrt{2}$$.

نعوض قيمة $$x$$ في $$E$$:

$$E = (2\sqrt{2} + 1)^2 - 9$$

ننشر $$(2\sqrt{2} + 1)^2$$ باستخدام $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$.

$$(2\sqrt{2} + 1)^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2(2\sqrt{2})(1) + 1^2$$

$$= (4 \times 2) + 4\sqrt{2} + 1$$

$$= 8 + 4\sqrt{2} + 1$$

$$= 9 + 4\sqrt{2}$$

الآن نعوض هذه القيمة في تعبير $$E$$:

$$E = (9 + 4\sqrt{2}) - 9$$

$$E = 4\sqrt{2}$$

التصحيح:

لدينا $$F = x^2 + 3x - 4$$

عندما $$x = \sqrt{2} + 1$$.

نحسب $$x^2$$ أولاً:

$$x^2 = (\sqrt{2} + 1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{2})(1) + 1^2$$

$$= 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$$

الآن نحسب $$3x$$:

$$3x = 3(\sqrt{2} + 1) = 3\sqrt{2} + 3$$

نعوض في $$F$$:

$$F = (3 + 2\sqrt{2}) + (3\sqrt{2} + 3) - 4$$

$$F = 3 + 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 3 - 4$$

نجمع الحدود المتشابهة:

$$F = (3 + 3 - 4) + (2\sqrt{2} + 3\sqrt{2})$$

$$F = 2 + 5\sqrt{2}$$

التصحيح:

لدينا $$E = (x + 1)^2 - 9$$

ننشر $$(x + 1)^2$$:

$$(x + 1)^2 = x^2 + 2(x)(1) + 1^2 = x^2 + 2x + 1$$

الآن نعوض في تعبير $$E$$:

$$E = (x^2 + 2x + 1) - 9$$

$$E = x^2 + 2x - 8$$

التصحيح:

من السؤال 2.أ، لدينا $$E = x^2 + 2x - 8$$.

معطى أن $$G = 8 - 2x - x^2$$.

لكي يكون $$E$$ مقابل $$G$$، يجب أن يكون $$E = -G$$ أو $$E + G = 0$$.

لنحسب $$E + G$$:

$$E + G = (x^2 + 2x - 8) + (8 - 2x - x^2)$$

$$E + G = x^2 - x^2 + 2x - 2x - 8 + 8$$

$$E + G = 0 + 0 + 0$$

$$E + G = 0$$

بما أن $$E + G = 0$$، فإن $$E = -G$$، وهذا يعني أن $$E$$ مقابل $$G$$.

التصحيح:

ننشر الطرف الأيسر $$(x - 1)(x + 4)$$:

$$(x - 1)(x + 4) = x(x + 4) - 1(x + 4)$$

$$= x^2 + 4x - x - 4$$

$$= x^2 + 3x - 4$$

وهو يساوي العبارة $$F$$ المعطاة.

التصحيح:

لدينا $$E = (x + 1)^2 - 9$$ (من بداية التمرين).

نلاحظ أنها على صيغة فرق مربعين: $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$.

هنا $$a = (x + 1)$$ و $$b = \sqrt{9} = 3$$.

إذن،

$$E = ((x + 1) - 3)((x + 1) + 3)$$

$$E = (x + 1 - 3)(x + 1 + 3)$$

$$E = (x - 2)(x + 4)$$

التصحيح:

لدينا $E$ المفككة من السؤال 4: $$E = (x - 2)(x + 4)$$.

ولدينا $F$ المفككة من السؤال 3: $$F = (x - 1)(x + 4)$$.

الآن نجمع $$E$$ و $$F$$:

$$A' = E + F = (x - 2)(x + 4) + (x - 1)(x + 4)$$

نلاحظ أن $$(x + 4)$$ عامل مشترك:

$$A' = (x + 4) [ (x - 2) + (x - 1) ]$$

نجمع الحدود المتشابهة داخل القوس الكبير:

$$A' = (x + 4) [ x - 2 + x - 1 ]$$

$$A' = (x + 4) [ (x + x) + (-2 - 1) ]$$

$$A' = (x + 4) [ 2x - 3 ]$$

ملاحظة: هناك عدم تطابق بين النتيجة التي توصلت إليها ($$(x + 4)(2x - 3)$$) وبين المطلوب إثباته ($$3(x - 2)(x + 4)$$). هذا يشير إلى احتمال وجود خطأ في صياغة السؤال الأصلي أو خطأ في نقل العبارات. لقد قدمت الحل بناءً على العبارات المعطاة وتفكيكاتها الصحيحة.

إذا كان المطلوب هو $$3(x - 2)(x + 4)$$, فإن هذا يتطلب أن يكون $$E+F = 3(x-2)(x+4)$$.

إذا افترضنا أن السؤال كان يهدف إلى $$E - F$$ أو أن هناك اختلافًا في تعريف $$A$$ و $$B$$ أو أحدهما، فقد تظهر النتيجة المطلوبة.

لتوضيح، لو كانت العبارة $$F$$ هي $$2x^2 + 5x - 8$$ مثلاً، أو كان هناك عامل مشترك 3 في $$E$$ أو $$F$$.

بالنظر إلى التفكيكين: $$E = (x - 2)(x + 4)$$ و $$F = (x - 1)(x + 4)$$. $$E + F = (x + 4) [(x - 2) + (x - 1)] = (x + 4)(2x - 3)$$. لا يمكن أن تكون $$2(x - 2)(3x - 2)$$ (من التمرين 4). ولا $$3(x - 2)(x + 4)$$ (من هذا التمرين 6).

استنتاج: العبارة "بيّن باستعمال التفكيك أن: $$A' = 3(x - 2)(x + 4)$$" خاطئة بناءً على تعريف $$E$$ و $$F$$ المعطاة في التمرين. النتيجة الصحيحة لـ $$E+F$$ هي $$(x + 4)(2x - 3)$$.

التصحيح:

المعادلة المعطاة هي $$ (x + 1)^2 - 9 = x^2 + 3x - 4$$.

نلاحظ أن الطرف الأيسر هو العبارة $$E$$، والطرف الأيمن هو العبارة $$F$$.

إذن المعادلة هي $$E = F$$.

يمكننا حلها بطريقتين:

الطريقة الأولى: استخدام الصيغ المنشورة

من السؤال 2.أ، لدينا $$E = x^2 + 2x - 8$$.

من السؤال 3، لدينا $$F = x^2 + 3x - 4$$.

نساوي العبارتين:

$$x^2 + 2x - 8 = x^2 + 3x - 4$$

نطرح $$x^2$$ من الطرفين:

$$2x - 8 = 3x - 4$$

ننقل الحدود التي تحتوي على $$x$$ إلى طرف، والثوابت إلى طرف آخر:

$$2x - 3x = -4 + 8$$

$$-x = 4$$

$$x = -4$$

الطريقة الثانية: استخدام الصيغ المفككة

من السؤال 4، لدينا $$E = (x - 2)(x + 4)$$.

من السؤال 3، لدينا $$F = (x - 1)(x + 4)$$.

المعادلة $$E = F$$ تصبح:

$$(x - 2)(x + 4) = (x - 1)(x + 4)$$

ننقل جميع الحدود إلى طرف واحد:

$$(x - 2)(x + 4) - (x - 1)(x + 4) = 0$$

نخرج العامل المشترك $$(x + 4)$$:

$$(x + 4) [ (x - 2) - (x - 1) ] = 0$$

$$(x + 4) [ x - 2 - x + 1 ] = 0$$

$$(x + 4) [ -1 ] = 0$$

$$-(x + 4) = 0$$

$$x + 4 = 0$$

$$x = -4$$

كلا الطريقتين تعطيان نفس الحل.

إذن، مجموعة حلول المعادلة هي $$\{-4\}$$.