تمارين رياضيات مع الحلول التفصيلية

التصحيح:

لدينا $$E = x^2 - 8x + 15$$

عندما $$x = 4$$:

$$E = (4)^2 - 8(4) + 15$$

$$E = 16 - 32 + 15$$

$$E = -16 + 15$$

$$E = -1$$

التصحيح:

الجزء الأول: بيّن أن $$(x - 4)^2 - 1 = E$$

ننشر الطرف الأيسر $$(x - 4)^2 - 1$$ باستخدام المتطابقة التربيعية $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$:

$$(x - 4)^2 - 1 = (x^2 - 2(x)(4) + 4^2) - 1$$

$$= x^2 - 8x + 16 - 1$$

$$= x^2 - 8x + 15$$

وهو يساوي العبارة $$E$$ المعطاة.

الجزء الثاني: استنتج تفكيكًا للعبارة $$E$$.

لدينا $$E = (x - 4)^2 - 1$$

نلاحظ أنها على صيغة فرق مربعين: $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$.

هنا $$a = (x - 4)$$ و $$b = \sqrt{1} = 1$$.

إذن،

$$E = ((x - 4) - 1)((x - 4) + 1)$$

$$E = (x - 4 - 1)(x - 4 + 1)$$

$$E = (x - 5)(x - 3)$$

التصحيح:

المعادلة هي $$x^2 - 8x + 15 = 0$$.

من السؤال 1.ب، نعلم أن $$E = x^2 - 8x + 15$$, وأن تفكيك $$E$$ هو $$(x - 5)(x - 3)$$.

إذن، المعادلة تكافئ:

$$(x - 5)(x - 3) = 0$$

هذا يعني أن أحد العوامل يجب أن يكون صفرًا:

إما $$x - 5 = 0 \implies x = 5$$

أو $$x - 3 = 0 \implies x = 3$$

إذن، مجموعة حلول المعادلة هي $$\{3, 5\}$$.

التصحيح:

حساب $$BM^2$$:

في المثلث القائم الزاوية $$BCM$$ (القائم في $$C$$ لأن $$ABCD$$ مربع)، نطبق مبرهنة فيثاغورس:

$$BM^2 = BC^2 + CM^2$$

بما أن $$ABCD$$ مربع طول ضلعه 5، فإن $$BC = 5$$.

معطى أن $$CM = x$$.

إذن، $$BM^2 = 5^2 + x^2$$

$$BM^2 = 25 + x^2$$ أو $$BM^2 = x^2 + 25$$

حساب $$FM^2$$:

في المثلث القائم الزاوية $$FEM$$ (القائم في $$E$$ لأن $$EFGD$$ مربع)، نطبق مبرهنة فيثاغورس:

$$FM^2 = FE^2 + EM^2$$

بما أن $$EFGD$$ مربع طول ضلعه 3، فإن $$FE = 3$$.

لإيجاد $$EM$$: نعلم أن $$C, M, E$$ على استقامة واحدة. طول $$CE = CD + DE$$.

$$CD = 5$$ (ضلع المربع $$ABCD$$)

$$DE = 3$$ (ضلع المربع $$EFGD$$)

إذن، $$CE = 5 + 3 = 8$$.

ولدينا $$CM = x$$.

فإن $$EM = CE - CM = 8 - x$$.

إذن، $$FM^2 = 3^2 + (8 - x)^2$$

$$FM^2 = 9 + (8 - x)^2$$

التصحيح:

لبيان $$BF = 2\sqrt{17}$$، يمكننا استخدام المثلث القائم $$BIF$$ حيث $$I$$ هي نقطة تقع على امتداد $$AD$$ أو $$BC$$ لتشكيل مستطيل. أو، لنفترض أن $$H$$ هي النقطة على $$BC$$ بحيث $$FH$$ عمودي على $$BC$$. في هذه الحالة، $$FH = CD + DE = 5 + 3 = 8$$ (المسافة الأفقية بين $$B$$ و $$F$$ إذا افترضنا $$C,D,E$$ على خط أفقي، وهو ما يبدو من الرسم). و $$BH = BC - CH$$.

الأسهل هو استخدام الإحداثيات أو إنشاء مثلث قائم مناسب.

لنعتبر النقطة $$K$$ هي نقطة على الخط $$DC$$ بحيث $$FK$$ عمودي على $$DC$$ الممتد. أو لننظر إلى المثلث $$BCF$$ ونمدد $$CD$$ ليلتقي بـ $$FG$$ عند النقطة $$G$$.

بشكل مباشر من الرسم، يمكننا إسقاط $$F$$ على امتداد $$BC$$. لنسمي هذه النقطة $$K$$.

فإن $$BK = BC + CK$$. $$BC = 5$$. $$CK = DE = 3$$. إذاً $$BK = 5 + 3 = 8$$. والارتفاع $$FK$$ (المسافة العمودية من $$F$$ إلى $$BC$$) هو $$CD = 5$$ (إذا افترضنا أن $$A, B, C, D$$ مستوي أفقي، و $$E, F, G, D$$ مستوي أفقي آخر على نفس الارتفاع من $$D$$).

من الرسم، يبدو أن $$F$$ و $$E$$ على نفس الارتفاع من $$D$$.

لنرسم المسقط العمودي لـ $$F$$ على الخط $$BC$$. لنسميها $$H'$$. فإن $$H'$$ تقع على امتداد $$BC$$. طول الضلع الأفقي من $$B$$ إلى $$F$$ هو $$BD + DE = 5+3=8$$. طول الضلع الرأسي من $$F$$ إلى $$BC$$ هو $$CD = 5$$. لنعتبر المثلث القائم الزاوية التي رؤوسها $$B$$ و $$F$$ ونقطة الإسقاط. لنسمي هذه النقطة $$P$$ (تقاطع المستقيم العمودي من $$F$$ على $$BC$$ والمستقيم $$BC$$). طول القطعة الأفقية $$BP$$ هو $$BC + CD = 5+3 = 8$$ (هذا هو $$CE$$). طول القطعة العمودية $$FP$$ هو $$FG = 3$$.

إعادة تقييم بناءً على الشكل النموذجي: عادةً في مثل هذه الأشكال، $$B$$ و $$F$$ هما رأسين لمثلث قائم الزاوية. لنمدد $$AD$$ و $$FG$$ ليتقاطعا في نقطة. أو ننشئ مستطيلًا. النقاط هي $$B(0, 5)$$, $$C(0,0)$$, $$D(5,0)$$, $$E(8,0)$$, $$F(8,3)$$. (باعتبار $$C$$ هي الأصل)

إحداثيات $$B = (0, 5)$$. إحداثيات $$F = (8, 3)$$.

نحسب المسافة $$BF$$ باستخدام قانون المسافة بين نقطتين: $$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

$$BF = \sqrt{(8 - 0)^2 + (3 - 5)^2}$$

$$BF = \sqrt{8^2 + (-2)^2}$$

$$BF = \sqrt{64 + 4}$$

$$BF = \sqrt{68}$$

$$BF = \sqrt{4 \times 17}$$

$$BF = 2\sqrt{17}$$

ملاحظة: هذا يتوافق مع المطلوب في السؤال. المسقط $$H$$ هنا هو نقطة على $$BC$$ بحيث $$FH$$ عمودي على $$BC$$. هذا يعني أن $$H$$ لها إحداثيات $$(0, 3)$$. المثلث $$BFH$$ (إذا كان $$H$$ المسقط العمودي لـ $$F$$ على $$BC$$) قائم الزاوية في $$H$$. $$BH = |5-3| = 2$$. $$FH = 8$$ (المسافة الأفقية من $$B$$ إلى $$F$$). $$BF^2 = BH^2 + FH^2 = 2^2 + 8^2 = 4 + 64 = 68$$. $$BF = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$$.

التصحيح:

نستخدم الإحداثيات لتحديد $$OM$$.

إحداثيات النقاط:

• $$C = (0, 0)$$
• $$D = (5, 0)$$
• $$B = (0, 5)$$
• $$E = (8, 0)$$ (بما أن $$CD=5$$ و $$DE=3$$، فإن $$D$$ عند $$x=5$$، و $$E$$ عند $$x=5+3=8$$)
• $$F = (8, 3)$$ (بما أن $$EFGD$$ مربع طول ضلعه 3، و $$E$$ على المحور $$x$$)
• $$M = (x, 0)$$ (بما أن $$M$$ نقطة من $$[CE]$$ و $$CM=x$$، و $$C$$ عند $$x=0$$ على المحور $$x$$)

النقطة $$O$$ هي منتصف $$[BF]$$.

إحداثيات $$B = (0, 5)$$ و $$F = (8, 3)$$.

إحداثيات $$O = \left(\frac{0+8}{2}, \frac{5+3}{2}\right) = \left(\frac{8}{2}, \frac{8}{2}\right) = (4, 4)$$.

الآن نحسب المسافة $$OM$$ حيث $$M = (x, 0)$$ و $$O = (4, 4)$$.

$$OM^2 = (x_M - x_O)^2 + (y_M - y_O)^2$$

$$OM^2 = (x - 4)^2 + (0 - 4)^2$$

$$OM^2 = (x - 4)^2 + (-4)^2$$

$$OM^2 = (x - 4)^2 + 16$$

معطى أن $$OM = \sqrt{17}$$. إذن $$OM^2 = (\sqrt{17})^2 = 17$$.

$$ (x - 4)^2 + 16 = 17 $$

$$ (x - 4)^2 = 17 - 16 $$

$$ (x - 4)^2 = 1 $$

لحل هذه المعادلة، نأخذ الجذر التربيعي للطرفين:

$$x - 4 = 1 \quad \text{أو} \quad x - 4 = -1$$

الحالة الأولى:

$$x - 4 = 1 \implies x = 1 + 4 \implies x = 5$$

الحالة الثانية:

$$x - 4 = -1 \implies x = -1 + 4 \implies x = 3$$

بما أن $$M$$ نقطة من $$[CE]$$ و $$0 < x < 8$$، فإن كلا الحلين مقبولان.

القيم الممكنة لـ $$x$$ هي $$3$$ و $$5$$.