تمارين رياضيات مع الحلول التفصيلية

التصحيح:

لننشر الطرف الأيسر $$(4 + \sqrt{2})^2$$ باستخدام المتطابقة التربيعية $$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$$:

$$(4 + \sqrt{2})^2 = 4^2 + 2(4)(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2$$

$$= 16 + 8\sqrt{2} + 2$$

$$= 18 + 8\sqrt{2}$$

وهو ما يطابق الطرف الأيمن.

التصحيح:

لدينا $$a = (4 + \sqrt{2})^2 - (15 + 10\sqrt{2})$$

من السؤال 1.أ، نعلم أن $$(4 + \sqrt{2})^2 = 18 + 8\sqrt{2}$$

نعوض هذه القيمة في تعبير $$a$$:

$$a = (18 + 8\sqrt{2}) - (15 + 10\sqrt{2})$$

$$a = 18 + 8\sqrt{2} - 15 - 10\sqrt{2}$$

نجمع الحدود المتشابهة:

$$a = (18 - 15) + (8\sqrt{2} - 10\sqrt{2})$$

$$a = 3 - 2\sqrt{2}$$

وهو ما يطابق المطلوب إثباته.

التصحيح:

لنحسب كل جزء من تعبير $$b$$ ونبسطه:

$$b = 13 + 4\sqrt{8} + 3\sqrt{200} - 6\sqrt{128} + \sqrt{2}(12 - 5\sqrt{2})$$

• $$4\sqrt{8} = 4\sqrt{4 \times 2} = 4 \times 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$$
• $$3\sqrt{200} = 3\sqrt{100 \times 2} = 3 \times 10\sqrt{2} = 30\sqrt{2}$$
• $$6\sqrt{128} = 6\sqrt{64 \times 2} = 6 \times 8\sqrt{2} = 48\sqrt{2}$$
• $$\sqrt{2}(12 - 5\sqrt{2}) = 12\sqrt{2} - 5(\sqrt{2})^2 = 12\sqrt{2} - 5(2) = 12\sqrt{2} - 10$$

الآن نعوض هذه القيم المبسطة في تعبير $$b$$:

$$b = 13 + 8\sqrt{2} + 30\sqrt{2} - 48\sqrt{2} + (12\sqrt{2} - 10)$$

$$b = 13 + 8\sqrt{2} + 30\sqrt{2} - 48\sqrt{2} + 12\sqrt{2} - 10$$

نجمع الحدود العددية مع بعضها والحدود التي تحتوي على $\sqrt{2}$ مع بعضها:

$$b = (13 - 10) + (8\sqrt{2} + 30\sqrt{2} - 48\sqrt{2} + 12\sqrt{2})$$

$$b = 3 + (8 + 30 - 48 + 12)\sqrt{2}$$

$$b = 3 + (38 - 48 + 12)\sqrt{2}$$

$$b = 3 + (-10 + 12)\sqrt{2}$$

$$b = 3 + 2\sqrt{2}$$

وهو ما يطابق المطلوب إثباته.

التصحيح:

لكي يكون العددان $$a$$ و $$b$$ مقلوبين، يجب أن يكون حاصل ضربهما يساوي 1، أي $$a \times b = 1$$.

من السؤال 1.ب، لدينا $$a = 3 - 2\sqrt{2}$$

من السؤال 2، لدينا $$b = 3 + 2\sqrt{2}$$

نحسب حاصل ضربهما $$a \times b$$:

$$a \times b = (3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})$$

نلاحظ أنها على صيغة فرق مربعين: $$(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$$.

هنا $$x = 3$$ و $$y = 2\sqrt{2}$$.

$$a \times b = 3^2 - (2\sqrt{2})^2$$

$$= 9 - (2^2 \times (\sqrt{2})^2)$$

$$= 9 - (4 \times 2)$$

$$= 9 - 8$$

$$= 1$$

بما أن $$a \times b = 1$$، فإن العددين $$a$$ و $$b$$ مقلوبان.

التصحيح:

لدينا $$c = 3 + 4016\sqrt{2} + \frac{2008}{3 + 2\sqrt{2}}$$

نلاحظ أن المقام في الكسر هو $$b$$، ومن السؤال 3 نعلم أن $$b$$ هو مقلوب $$a$$، أي $$b = \frac{1}{a}$$.

إذن، $$\frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} = \frac{1}{b} = a = 3 - 2\sqrt{2}$$.

نعوض هذا في تعبير $$c$$:

$$c = 3 + 4016\sqrt{2} + 2008 \times \left(\frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}\right)$$

$$c = 3 + 4016\sqrt{2} + 2008 (3 - 2\sqrt{2})$$

نوزع 2008 على القوس:

$$c = 3 + 4016\sqrt{2} + (2008 \times 3) - (2008 \times 2\sqrt{2})$$

$$c = 3 + 4016\sqrt{2} + 6024 - 4016\sqrt{2}$$

نجمع الحدود المتشابهة:

$$c = (3 + 6024) + (4016\sqrt{2} - 4016\sqrt{2})$$

$$c = 6027 + 0$$

$$c = 6027$$

بما أن 6027 هو عدد صحيح وموجب، فإنه عدد صحيح طبيعي.