تمارين رياضيات مع الحلول التفصيلية

التصحيح:

الجزء الأول: بيّن أن $$F = (x + 2)^2 - 1$$

ننطلق من الطرف الأيمن وننشره:

$$(x + 2)^2 - 1$$

باستخدام المتطابقة التربيعية $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$:

$$(x + 2)^2 = x^2 + 2(x)(2) + 2^2$$

$$= x^2 + 4x + 4$$

الآن نعوض في التعبير الأصلي:

$$F = (x^2 + 4x + 4) - 1$$

$$F = x^2 + 4x + 3$$

وهو يساوي العبارة $$F$$ المعطاة.

الجزء الثاني: فكك $$F$$ إلى جذاء عوامل.

لدينا $$F = (x + 2)^2 - 1$$

نلاحظ أنها على صيغة فرق مربعين: $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$.

هنا $$a = (x + 2)$$ و $$b = \sqrt{1} = 1$$.

إذن،

$$F = ((x + 2) - 1)((x + 2) + 1)$$

$$F = (x + 2 - 1)(x + 2 + 1)$$

$$F = (x + 1)(x + 3)$$

التصحيح:

لدينا $$E = 3x^2 + 18x + 27$$

نلاحظ أن 3 عامل مشترك في جميع الحدود:

$$E = 3(x^2 + 6x + 9)$$

العبارة داخل القوس $$(x^2 + 6x + 9)$$ هي متطابقة تربيعية: $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$.

هنا $$a = x$$ و $$b = 3$$.

إذن، $$(x^2 + 6x + 9) = (x + 3)^2$$.

وعليه،

$$E = 3(x + 3)^2$$

التصحيح:

لدينا $E$ المفككة من السؤال 2: $$E = 3(x + 3)^2$$.

ولدينا $F$ المفككة من السؤال 1: $$F = (x + 1)(x + 3)$$.

الآن نجمع $$E$$ و $$F$$:

$$E + F = 3(x + 3)^2 + (x + 1)(x + 3)$$

نلاحظ أن $$(x + 3)$$ عامل مشترك:

$$E + F = (x + 3) [ 3(x + 3) + (x + 1) ]$$

نوزع 3 داخل القوس الكبير:

$$E + F = (x + 3) [ 3x + 9 + x + 1 ]$$

نجمع الحدود المتشابهة داخل القوس الكبير:

$$E + F = (x + 3) [ (3x + x) + (9 + 1) ]$$

$$E + F = (x + 3) [ 4x + 10 ]$$

نلاحظ أن 2 عامل مشترك في $$(4x + 10)$$:

$$4x + 10 = 2(2x + 5)$$

إذن،

$$E + F = (x + 3) [ 2(2x + 5) ]$$

$$E + F = 2(x + 3)(2x + 5)$$

التصحيح:

لدينا المعادلة: $$E + F = 0$$

من السؤال 3، لدينا التفكيك: $$E + F = 2(x + 3)(2x + 5)$$.

إذن، المعادلة تصبح:

$$2(x + 3)(2x + 5) = 0$$

هذا يعني أن أحد العوامل يجب أن يكون صفرًا:

إما $$(x + 3) = 0$$

$$x = -3$$

أو $$(2x + 5) = 0$$

$$2x = -5$$

$$x = -\frac{5}{2}$$

إذن، مجموعة حلول المعادلة هي $$\left\{-3, -\frac{5}{2}\right\}$$.