تمارين رياضيات مع الحلول التفصيلية

التصحيح:

لدينا العبارة $$A = (x - 2)(x - 1)$$

ننشر العبارة:

$$A = x(x - 1) - 2(x - 1)$$

$$A = x^2 - x - 2x + 2$$

$$A = x^2 - 3x + 2$$

التصحيح:

لدينا العبارة المنشورة: $$A = x^2 - 3x + 2$$

الحالة الأولى: عندما $$x = 1 + \sqrt{2}$$

نعوض قيمة $$x$$ في $$A$$:

$$A = (1 + \sqrt{2})^2 - 3(1 + \sqrt{2}) + 2$$

نفكك $$(1 + \sqrt{2})^2$$:

$$(1 + \sqrt{2})^2 = 1^2 + 2(1)(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2$$

$$= 1 + 2\sqrt{2} + 2$$

$$= 3 + 2\sqrt{2}$$

نكمل حساب $$A$$:

$$A = (3 + 2\sqrt{2}) - (3 + 3\sqrt{2}) + 2$$

$$A = 3 + 2\sqrt{2} - 3 - 3\sqrt{2} + 2$$

$$A = (3 - 3 + 2) + (2\sqrt{2} - 3\sqrt{2})$$

$$A = 2 - \sqrt{2}$$

الحالة الثانية: عندما $$x = 1$$

نعوض قيمة $$x$$ في $$A$$ (يمكن استخدام الصيغة المفككة أو غير المفككة):

باستخدام $$A = (x - 2)(x - 1)$$.

$$A = (1 - 2)(1 - 1)$$

$$A = (-1)(0)$$

$$A = 0$$

التصحيح:

لدينا $$B = (1 - x)^2 + (x + 1)(x - 1)$$

عند $$x = 1 + \sqrt{2}$$:

نحسب $(1 - x)^2$:

$$1 - x = 1 - (1 + \sqrt{2}) = -\sqrt{2}$$

$$(1 - x)^2 = (-\sqrt{2})^2 = 2$$

نحسب $(x + 1)(x - 1)$:

$$x + 1 = (1 + \sqrt{2}) + 1 = 2 + \sqrt{2}$$

$$x - 1 = (1 + \sqrt{2}) - 1 = \sqrt{2}$$

$$(x + 1)(x - 1) = (2 + \sqrt{2})(\sqrt{2})$$

$$= 2\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2$$

$$= 2\sqrt{2} + 2$$

الآن نجمع لحساب $$B$$:

$$B = 2 + (2\sqrt{2} + 2)$$

$$B = 4 + 2\sqrt{2}$$

التصحيح:

لدينا $$B = (1 - x)^2 + (x + 1)(x - 1)$$

ننشر كل جزء:

$$(1 - x)^2 = 1^2 - 2(1)(x) + x^2 = 1 - 2x + x^2$$

$$(x + 1)(x - 1)$$ هي متطابقة تربيعية $$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$:

$$(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$$

الآن نجمع الجزأين:

$$B = (1 - 2x + x^2) + (x^2 - 1)$$

$$B = x^2 + x^2 - 2x + 1 - 1$$

$$B = 2x^2 - 2x$$

التفكيك: العامل المشترك بين $$2x^2$$ و $$-2x$$ هو $$2x$$ :

$$B = 2x(x - 1)$$

تحقّق: عند $$x = 1+\sqrt{2}$$ نجد $$B = 2(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}+4$$، و هو ما وجدناه في السؤال أ.

التصحيح:

ننشر الطرف الأيسر $$(x - 1)(x + 2)$$:

$$ (x - 1)(x + 2) = x(x + 2) - 1(x + 2) $$

$$ = x^2 + 2x - x - 2 $$

$$ = x^2 + x - 2 $$

وهو يساوي الطرف الأيمن.

إذن، المساواة صحيحة: $$(x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2$$

التصحيح:

لدينا $$C = A + B$$

من السؤال 1.أ، $$A = x^2 - 3x + 2$$

من السؤال 2.ب (بعد النشر الصحيح)، $$B = 2x^2 - 2x$$

إذن، نجمع $A$ و $B$:

$$C = (x^2 - 3x + 2) + (2x^2 - 2x)$$

$$C = x^2 + 2x^2 - 3x - 2x + 2$$

$$C = 3x^2 - 5x + 2$$

الآن، لنقارن هذا بالطرف الأيمن المطلوب إثباته: $$(x - 1)(x + 2)$$

من السؤال 3.أ، نعلم أن $$(x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2$$

بما أن $3x^2 - 5x + 2 \neq x^2 + x - 2$ (بشكل عام)،

ملاحظة: بناءً على العبارات المعطاة لـ $A$ و $B$ في بداية التمرين، فإن $C = A + B$ لا تساوي $(x - 1)(x + 2)$. هذا يشير إلى أن هناك خطأ في السؤال الأصلي أو أن العبارات $A$ و $B$ في بداية التمرين ليست التي كان ينبغي استخدامها لهذا السؤال. لقد قدمت الحل بناءً على العبارات المعطاة.

التصحيح:

لدينا $$C = 3x^2 - 5x + 2$$ (من السؤال 3.ب، النشر الصحيح لـ $A+B$).

و $$x = 1 + \sqrt{2}$$.

الطريقة الأولى: التعويض المباشر في $C$ بعد النشر

$$x^2 = (1 + \sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2}$$

$$C = 3(3 + 2\sqrt{2}) - 5(1 + \sqrt{2}) + 2$$

$$C = 9 + 6\sqrt{2} - 5 - 5\sqrt{2} + 2$$

$$C = (9 - 5 + 2) + (6\sqrt{2} - 5\sqrt{2})$$

$$C = 6 + \sqrt{2}$$

الطريقة الثانية: جمع القيم العددية لـ $A$ و $B$

من السؤال 1.ب، عندما $$x = 1 + \sqrt{2}$$، وجدنا $$A = 2 - \sqrt{2}$$.

من السؤال 2.أ، عندما $$x = 1 + \sqrt{2}$$، وجدنا $$B = 4 + 2\sqrt{2}$$.

إذن، $$C = A + B$$

$$C = (2 - \sqrt{2}) + (4 + 2\sqrt{2})$$

$$C = 2 - \sqrt{2} + 4 + 2\sqrt{2}$$

$$C = (2 + 4) + (-\sqrt{2} + 2\sqrt{2})$$

$$C = 6 + \sqrt{2}$$

الطريقتان تعطيان نفس النتيجة.

التصحيح:

لدينا العبارة $C = 3x^2 - 5x + 2$ (من السؤال 3.ب، النشر الصحيح لـ $A+B$).

والمعطى هو $C = x + 2$

إذن نساوي العبارتين:

$$3x^2 - 5x + 2 = x + 2$$

ننقل جميع الحدود إلى طرف واحد ونسويها بالصفر:

$$3x^2 - 5x - x + 2 - 2 = 0$$

$$3x^2 - 6x = 0$$

نخرج العامل المشترك $3x$:

$$3x(x - 2) = 0$$

هذا يعني أن أحد العوامل يجب أن يكون صفرًا:

إما $$3x = 0 \implies x = 0$$

أو $$x - 2 = 0 \implies x = 2$$

إذن، قيم $$x$$ التي تحقق المعادلة هي $$x = 0$$ أو $$x = 2$$.