لتكن العبارتين $$A$$ و $$B$$ حيث $$x \in \mathbb{R}$$.
$$A = -9 + x^2$$
$$B = 18 - 12x + 2x^2$$
1) أ) أحسب $$A$$ في حالة $$x = \left(-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)$$.
التصحيح:
لدينا $$A = -9 + x^2$$
و $$x = -\frac{\sqrt{5}}{2}$$.
نعوض قيمة $$x$$ في $$A$$:
$$A = -9 + \left(-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2$$
$$A = -9 + \frac{(\sqrt{5})^2}{2^2}$$
$$A = -9 + \frac{5}{4}$$
نوحد المقامات:
$$A = -\frac{9 \times 4}{4} + \frac{5}{4}$$
$$A = -\frac{36}{4} + \frac{5}{4}$$
$$A = \frac{-36 + 5}{4}$$
$$A = -\frac{31}{4}$$
ب) فكك $$A$$ إلى جذاء عوامل.
التصحيح:
لدينا $$A = -9 + x^2$$
يمكن إعادة ترتيبها كـ $$A = x^2 - 9$$
نلاحظ أنها على صيغة فرق مربعين: $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$.
هنا $$a = x$$ و $$b = \sqrt{9} = 3$$.
إذن،
$$A = (x - 3)(x + 3)$$
2) بيّن أن $$B = 2(3 - x)^2$$.
التصحيح:
لدينا $$B = 18 - 12x + 2x^2$$.
نلاحظ أن 2 عامل مشترك في جميع الحدود:
$$B = 2(9 - 6x + x^2)$$
يمكن إعادة ترتيب الحدود داخل القوس:
$$B = 2(x^2 - 6x + 9)$$
العبارة داخل القوس هي متطابقة تربيعية: $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$.
هنا $$a = x$$ و $$b = 3$$.
إذن، $$(x^2 - 6x + 9) = (x - 3)^2$$.
وبما أن $$(x - 3)^2 = (3 - x)^2$$ (لأن مربع العدد يساوي مربع معكوسه)،
فإن:
$$B = 2(x - 3)^2$$
$$B = 2(3 - x)^2$$
3) فكك $$A + B$$ إلى جذاء عوامل.
التصحيح:
لدينا $A$ المفككة من السؤال 1.ب: $$A = (x - 3)(x + 3)$$.
ولدينا $B$ المفككة من السؤال 2: $$B = 2(3 - x)^2$$.
نحن نعلم أن $$(3 - x)^2 = (x - 3)^2$$.
إذن يمكننا كتابة $$B = 2(x - 3)^2$$.
الآن نجمع $$A$$ و $$B$$:
$$A + B = (x - 3)(x + 3) + 2(x - 3)^2$$
نلاحظ أن $$(x - 3)$$ عامل مشترك:
$$A + B = (x - 3) [ (x + 3) + 2(x - 3) ]$$
نوزع 2 داخل القوس الكبير:
$$A + B = (x - 3) [ x + 3 + 2x - 6 ]$$
نجمع الحدود المتشابهة داخل القوس الكبير:
$$A + B = (x - 3) [ (x + 2x) + (3 - 6) ]$$
$$A + B = (x - 3) [ 3x - 3 ]$$
نلاحظ أن 3 عامل مشترك في $(3x - 3)$:
$$3x - 3 = 3(x - 1)$$
إذن،
$$A + B = (x - 3) [ 3(x - 1) ]$$
$$A + B = 3(x - 3)(x - 1)$$