حل التمارين الجبرية

التمرين 3

\( x \) عدد حقيقي

1. لتكن العبارة \( A = x^2 - 6x - 7 \)
(1) احسب A إذا كان \( x = 1 + \sqrt{2} \) و \( x = 2 - \sqrt{3} \)

الحل:

عندما \( x = 1 + \sqrt{2} \):

\[ \begin{align*} A &= (1 + \sqrt{2})^2 - 6(1 + \sqrt{2}) - 7 \\ &= 1 + 2\sqrt{2} + 2 - 6 - 6\sqrt{2} - 7 \\ &= -10 - 4\sqrt{2} \end{align*} \]

عندما \( x = 2 - \sqrt{3} \):

\[ \begin{align*} A &= (2 - \sqrt{3})^2 - 6(2 - \sqrt{3}) - 7 \\ &= 4 - 4\sqrt{3} + 3 - 12 + 6\sqrt{3} - 7 \\ &= -12 + 2\sqrt{3} \end{align*} \]
(2) بين أن \( A = (x - 3)^2 - 16 \) واستنتج تفكيكا إلى جداء عوامل للعبارة A

الحل:

\[ \begin{align*} A &= x^2 - 6x - 7 \\ &= (x^2 - 6x + 9) - 16 \quad \text{(بإكمال المربع)} \\ &= (x - 3)^2 - 4^2 \\ &= \big[(x - 3) - 4\big]\big[(x - 3) + 4\big] \quad \text{(بتطبيق الفرق بين مربعين)} \\ &= (x - 7)(x + 1) \end{align*} \]

إذن الشكل المفعّل للعبارة A هو: \( A = (x - 7)(x + 1) \)

(3) أوجد مجموعة الأعداد الحقيقية \( x \) حيث \( A = 0 \)

الحل:

باستخدام الشكل المفعّل:

\[ (x - 7)(x + 1) = 0 \]

إذن:

\[ x - 7 = 0 \quad \text{أو} \quad x + 1 = 0 \] \[ x = 7 \quad \text{أو} \quad x = -1 \]

مجموعة الحلول هي: \( \{-1, 7\} \)

(4) أوجد مجموعة الأعداد الحقيقية \( x \) حيث \( A = x^2 + x \)

الحل:

باستخدام الشكل المفعّل لـ A:

\[ (x - 7)(x + 1) = x^2 + x \] \[ x^2 - 6x - 7 = x^2 + x \] \[ -7x - 7 = 0 \] \[ -7(x + 1) = 0 \] \[ x = -1 \]

مجموعة الحلول هي: \( \{-1\} \)

التمرين 2

لتكن العبارة \( B = x^2 - 14x + 49 \)

1. احسب B إذا كان \( x = -\sqrt{5} \) و \( x = 1 - \sqrt{7} \)

الحل:

عندما \( x = -\sqrt{5} \):

\[ \begin{align*} B &= (-\sqrt{5})^2 - 14(-\sqrt{5}) + 49 \\ &= 5 + 14\sqrt{5} + 49 \\ &= 54 + 14\sqrt{5} \end{align*} \]

عندما \( x = 1 - \sqrt{7} \):

\[ \begin{align*} B &= (1 - \sqrt{7})^2 - 14(1 - \sqrt{7}) + 49 \\ &= 1 - 2\sqrt{7} + 7 - 14 + 14\sqrt{7} + 49 \\ &= 43 + 12\sqrt{7} \end{align*} \]
2. فكك \( B \) إلى جداء عوامل

الحل:

\[ \begin{align*} B &= x^2 - 14x + 49 \\ &= (x - 7)^2 \quad \text{(مربع كامل)} \end{align*} \]

إذن الشكل المفعّل للعبارة B هو: \( B = (x - 7)^2 \)

3. استنتج تفكيكا إلى جداء عوامل للعبارتين \( A-B \) و \( A+B \)

الحل:

باستخدام الأشكال المفعلة:

\[ A = (x - 7)(x + 1) \\ B = (x - 7)^2 \]

للحصول على \( A - B \):

\[ \begin{align*} A - B &= (x - 7)(x + 1) - (x - 7)^2 \\ &= (x - 7)\big[(x + 1) - (x - 7)\big] \\ &= (x - 7)(8) \\ &= 8(x - 7) \end{align*} \]

للحصول على \( A + B \):

\[ \begin{align*} A + B &= (x - 7)(x + 1) + (x - 7)^2 \\ &= (x - 7)\big[(x + 1) + (x - 7)\big] \\ &= (x - 7)(2x - 6) \\ &= 2(x - 7)(x - 3) \end{align*} \]
4. أوجد مجموعة الأعداد الحقيقية \( x \) حيث \( A \) و \( B \) متساويان

الحل:

باستخدام الأشكال المفعلة:

\[ (x - 7)(x + 1) = (x - 7)^2 \] \[ (x - 7)(x + 1) - (x - 7)^2 = 0 \] \[ (x - 7)\big[(x + 1) - (x - 7)\big] = 0 \] \[ (x - 7)(8) = 0 \] \[ x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7 \]

مجموعة الحلول هي: \( \{7\} \)

5. أوجد مجموعة الأعداد الحقيقية \( x \) حيث \( A \) و \( B \) متقابلات

الحل:

باستخدام الأشكال المفعلة:

\[ (x - 7)(x + 1) = - (x - 7)^2 \] \[ (x - 7)(x + 1) + (x - 7)^2 = 0 \] \[ (x - 7)\big[(x + 1) + (x - 7)\big] = 0 \] \[ (x - 7)(2x - 6) = 0 \] \[ x - 7 = 0 \quad \text{أو} \quad 2x - 6 = 0 \] \[ x = 7 \quad \text{أو} \quad x = 3 \]

مجموعة الحلول هي: \( \{3, 7\} \)