حصر عدد حقيقي \(x\) يعني إيجاد عددين \(a\) و \(b\) بحيث: \(a \le x \le b\). مدى هذا الحصر هو: \(b - a\).
مثال: أوجد حصرا للعدد \(\sqrt{5}\) مداه \(10^{-2}\).
نعلم أن \(\sqrt{5} \approx 2.23607...\). إذن يمكننا القول أن \(2.23 \le \sqrt{5} \le 2.24\).
مدى هذا الحصر هو: \(2.24 - 2.23 = 0.01 = 10^{-2}\).
\(x\) عدد حقيقي بحيث: \(4 \le x \le 7\). أعط حصراً للعدد \(A\) حيث: \(A = x + \frac{1}{x}\).
الهدف: نريد أن نجد أصغر وأكبر قيمة ممكنة للمقدار \(A\).
الخطوة 1: تحليل العبارة A
العبارة \(A\) تتكون من جزأين: \(x\) و \(\frac{1}{x}\). لكي نحصر \(A\)، يجب أن نحصر كل جزء على حدة ثم نجمعهما.
الخطوة 2: حصر الجزء الأول (x)
المعطيات تخبرنا مباشرة أن: \(4 \le x \le 7\). هذا هو الحصر الأول.
الخطوة 3: حصر الجزء الثاني (\( \frac{1}{x} \))
لدينا \(4 \le x \le 7\). جميع الأعداد في هذا المجال موجبة.
قاعدة هامة: عند تطبيق المقلوب على أطراف متباينة (متراجحة) موجبة، يجب أن نقلب أو نعكس اتجاه علامات التباين (\(\le\) تصبح \(\ge\)).
إذن، بتطبيق المقلوب على \(4 \le x \le 7\)، نحصل على: \[ \frac{1}{4} \ge \frac{1}{x} \ge \frac{1}{7} \] يمكننا إعادة كتابتها بشكل مرتب من الأصغر إلى الأكبر: \[ \frac{1}{7} \le \frac{1}{x} \le \frac{1}{4} \] هذا هو الحصر الثاني.
الخطوة 4: جمع الحصرين
الآن نجمع الحصر الأول والحصر الثاني طرفاً بطرف:
\( \quad 4 \le x \le 7 \)
\(+ \quad \frac{1}{7} \le \frac{1}{x} \le \frac{1}{4} \)
----------------------------------
\( \quad 4 + \frac{1}{7} \le x + \frac{1}{x} \le 7 + \frac{1}{4} \)
الخطوة 5: حساب النتائج النهائية
نحسب الطرف الأيسر (بتوحيد المقامات): \[ 4 + \frac{1}{7} = \frac{4 \times 7}{7} + \frac{1}{7} = \frac{28+1}{7} = \frac{29}{7} \] نحسب الطرف الأيمن (بتوحيد المقامات): \[ 7 + \frac{1}{4} = \frac{7 \times 4}{4} + \frac{1}{4} = \frac{28+1}{4} = \frac{29}{4} \]
الخلاصة:
إذن، الحصر النهائي للعدد \(A\) هو: \[ \frac{29}{7} \le A \le \frac{29}{4} \]
إذا علمت أن: \(1 < x < 2\) و \(-5 < y < -2\) و \(-2 < z < 3\).
1- أحصر كلاً من: \(x+z\), \(xy\), \(y^2-1\).
1. حصر المجموع \(x+z\)
لجمع حصرين، نجمع الأطراف الصغرى معاً والأطراف الكبرى معاً.
\( \quad 1 < x < 2 \)
\(+ \quad -2 < z < 3 \)
-----------------------
\( \quad 1 + (-2) < x+z < 2 + 3 \)
إذن: \( -1 < x+z < 5 \)
2. حصر الجداء \(xy\)
قاعدة هامة: لا يمكن ضرب المتباينات مباشرة إلا إذا كانت جميع الأطراف موجبة. هنا، أطراف \(y\) سالبة، لذلك يجب أن نكون حذرين.
الطريقة الآمنة هي حساب جميع الجداءات الممكنة بين الأطراف وتحديد أصغر وأكبر ناتج.
الأطراف هي: 1 و 2 لـ \(x\)، و -5 و -2 لـ \(y\).
أصغر قيمة هي \(-10\) وأكبر قيمة هي \(-2\). إذن، الحصر هو:
\( -10 < xy < -2 \)
3. حصر \(y^2-1\)
أولاً، نحصر \(y^2\).
لدينا \(-5 < y < -2\). عندما نربع أعداداً سالبة، تتغير النتائج وتصبح موجبة، ويتغير ترتيب المتباينة.
الطرف الأيسر: \((-5)^2 = 25\).
الطرف الأيمن: \((-2)^2 = 4\).
بما أن التربيع يعكس الترتيب في هذه الحالة (لأن الأعداد سالبة)، فإن: \[ (-2)^2 < y^2 < (-5)^2 \] \[ 4 < y^2 < 25 \]
ثانياً، نطرح 1 من كل الأطراف.
\[ 4 - 1 < y^2 - 1 < 25 - 1 \] \[ 3 < y^2 - 1 < 24 \]
إذن، حصر \(y^2-1\) هو \(3 < y^2-1 < 24\).
\(x\) عدد حقيقي بحيث: \(1.2 < x < 1.5\).
1- أحصر كلاً من \(A\) حيث \(A = 2x - 4\) و \(B\) حيث \(B = 1 - \frac{1}{x}\).
2- أوجد حصراً لـ \(C\) حيث \(C = \left(\frac{x}{2} - 5\right)^2\).
1. حصر \(A = 2x - 4\)
الخطوة أ: نضرب المتباينة \(1.2 < x < 1.5\) في العدد 2. بما أن 2 عدد موجب، لا نغير اتجاه التباين.
\[ 2 \times 1.2 < 2 \times x < 2 \times 1.5 \] \[ 2.4 < 2x < 3 \]الخطوة ب: نطرح 4 من جميع الأطراف.
\[ 2.4 - 4 < 2x - 4 < 3 - 4 \] \[ -1.6 < A < -1 \]2. حصر \(B = 1 - \frac{1}{x}\)
الخطوة أ: نحصر \(\frac{1}{x}\). بما أن \(1.2 < x < 1.5\) (أعداد موجبة)، نطبق المقلوب ونعكس اتجاه التباين.
\[ \frac{1}{1.2} > \frac{1}{x} > \frac{1}{1.5} \] أي \[ \frac{1}{1.5} < \frac{1}{x} < \frac{1}{1.2} \]الخطوة ب: نضرب في \(-1\) لنحصل على \(-\frac{1}{x}\). عند الضرب في عدد سالب، نعكس اتجاه التباين مرة أخرى.
\[ -\frac{1}{1.5} > -\frac{1}{x} > -\frac{1}{1.2} \] أي \[ -\frac{1}{1.2} < -\frac{1}{x} < -\frac{1}{1.5} \]الخطوة ج: نضيف 1 إلى جميع الأطراف.
\[ 1 - \frac{1}{1.2} < 1 - \frac{1}{x} < 1 - \frac{1}{1.5} \] نحسب القيم: \(1.2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}\) و \(1.5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}\). \[ 1 - \frac{5}{6} < B < 1 - \frac{2}{3} \] \[ \frac{1}{6} < B < \frac{1}{3} \]3. حصر \(C = \left(\frac{x}{2} - 5\right)^2\)
الخطوة أ: نحصر \(\frac{x}{2}\). نقسم أطراف \(1.2 < x < 1.5\) على 2.
\[ \frac{1.2}{2} < \frac{x}{2} < \frac{1.5}{2} \] \[ 0.6 < \frac{x}{2} < 0.75 \]الخطوة ب: نطرح 5 من الأطراف.
\[ 0.6 - 5 < \frac{x}{2} - 5 < 0.75 - 5 \] \[ -4.4 < \frac{x}{2} - 5 < -4.25 \]الخطوة ج: نربع الأطراف. بما أن المجال \([-4.4, -4.25]\) يحتوي على أعداد سالبة فقط، فإن التربيع سيجعلها موجبة ويعكس الترتيب.
\[ (-4.25)^2 < \left(\frac{x}{2} - 5\right)^2 < (-4.4)^2 \] نحسب القيم: \((-4.25)^2 = 18.0625\) و \((-4.4)^2 = 19.36\). \[ 18.0625 < C < 19.36 \]