الجذاءات المعتبرة — التمرين 10

دفواراتي
نص التمرين
تمرين 10

التمرين رقم 10

نعتبر العبارة \(B\) حيث \(x\) عدد حقيقي :

\[B = (2x+1)^2 - 2(2x+5)\]

1- أحسب \(B\) إذا كان \(x = 2\)

2- أ- أنشر واختصر العبارة \(B\)

ب- استنتج أن \(B = (2x-3)(2x+3)\)

ج- أوجد العدد الصحيح الطبيعي \(x\) بحيث \(B = 55\)

د- أوجد العدد \(x\) بحيث \(4x^2 + 4x + 1 = 2(2x+5)\)

3- لتكن العددين \(a = 2 + \sqrt{3}\) و \(b = 1 - 2\sqrt{3}\)

أ- أحسب \(a^2\)، \(b^2\)، \(ab\)

ب- استنتج حساباً لـ \(c = (3-\sqrt{3})^2\) و \(d = 2\sqrt{7+4\sqrt{3}} - \sqrt{13-4\sqrt{3}}\)

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • انشر \((2x+1)^2\)، ثم اطرح \(2(2x+5)\).
  • ستحصل على فرق مربعين: \(4x^2-9\).
  • في الجزء الأخير، لاحظ أن \(7+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2\) و\(13-4\sqrt3=(2\sqrt3-1)^2\).

📝 الطريقة

نثبت أولاً أن \(B=4x^2-9\)، ثم نفككه. بعد ذلك نحل \(B=55\) و\(B=0\). أما في سؤال الجذور فنستعمل المربعات المحسوبة لـ \(a\) و\(b\).

✅ الحل الكامل

\[B=(2x+1)^2-2(2x+5)=4x^2+4x+1-4x-10=4x^2-9\]
\[B=(2x-3)(2x+3)\]

إذا \(x=2\):

\[B=4\times4-9=7\]

إذا \(B=55\):

\[4x^2-9=55\Rightarrow x^2=16\]

وبما أن \(x\in\mathbb N\)، فإن \(x=4\).

أما:

\[4x^2+4x+1=2(2x+5)\]

فتكافئ \(B=0\):

\[(2x-3)(2x+3)=0\Rightarrow x=\dfrac32\ \text{أو}\ x=-\dfrac32\]

نحسب:

\[a^2=(2+\sqrt3)^2=7+4\sqrt3\]
\[b^2=(1-2\sqrt3)^2=13-4\sqrt3\]
\[ab=(2+\sqrt3)(1-2\sqrt3)=-4-3\sqrt3\]

ثم:

\[c=(3-\sqrt3)^2=12-6\sqrt3\]

وبما أن \(\sqrt{7+4\sqrt3}=2+\sqrt3\) و \(\sqrt{13-4\sqrt3}=2\sqrt3-1\)، فإن:

\[d=2(2+\sqrt3)-(2\sqrt3-1)=5\]