الجذاءات المعتبرة

نص التمرين

تمرين 9

نعتبر العبارة \(A\) حيث \(x\) عدد حقيقي :

\[A = \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 - 2x\]

1- أ- بيّن أن \(A = x^2 - x + \dfrac{1}{4}\)

ب- أحسب \(A\) إذا علمت أن \(x = \sqrt{2} - \dfrac{1}{2}\)

ج- فكّك العبارة \(A\) إلى جذاء عوامل

د- أوجد العدد الحقيقي \(x\) في حالة \(A = \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x}{2}\)

2- لتكن العبارة \(B = 25x^2\)

أ- فكّك العبارة \(B - A\)

ب- أوجد العدد الحقيقي \(x\) بحيث \(A^2 - A \times B = A \times B - B^2\)

التقدم: لم تبدأ بعد

نكتب \(A\) في صورة مربع كامل، ثم نستعمل فرق مربعين لتفكيك \(B-A\). في المعادلة الأخيرة نعيد ترتيب الحدود للحصول على مربع يساوي صفراً.

\[A=\left(x+\dfrac12\right)^2-2x=x^2+x+\dfrac14-2x=x^2-x+\dfrac14\]

\[A=\left(x-\dfrac12\right)^2\]

إذا \(x=\sqrt2-\dfrac12\):

\[A=\left(\sqrt2-1\right)^2=3-2\sqrt2\]

إذا:

\[A=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x}{2}\]

فإن:

\[x^2-x+\dfrac14=\dfrac{x^2-x}{2}\Rightarrow x^2-x+\dfrac12=0\]

⛔ لا داعي لأدوات خارج برنامج التاسعة : الشكل القانوني يكفي.

\[x^{2}-x+\dfrac{1}{2} = \left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{1}{4}\]

و بما أنّ \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2} \ge 0\) فإنّ \(x^{2}-x+\dfrac{1}{2} \ge \dfrac{1}{4} > 0\) : لا حلّ في \(\mathbb{R}\).

ولدينا \(B=25x^2=(5x)^2\)، لذلك:

\[B-A=(5x)^2-\left(x-\dfrac12\right)^2\]

\[B-A=\left(4x+\dfrac12\right)\left(6x-\dfrac12\right)\]

المعادلة:

\[A^2-AB=AB-B^2\]

تعطي:

\[A^2-2AB+B^2=0\Rightarrow (A-B)^2=0\Rightarrow A=B\]

أي \(B-A=0\):

\[\left(4x+\dfrac12\right)\left(6x-\dfrac12\right)=0\]

\[x=-\dfrac18\quad \text{أو}\quad x=\dfrac1{12}\]

الجذاءات المعتبرة — التمرين 9