الجذاءات المعتبرة

نص التمرين

تمرين 8

نعتبر العبارتين :

\[M = x^2 + 6x + 5 \qquad N = x^2 + (x+1)^2 - 1\]

1- أحسب العبارة \(M\) في حالة \(x = \sqrt{3} - 1\)

2- أ- بيّن أن \(M = (x+3)^2 - 4\) ثم استنتج تفكيكاً للعبارة \(M\)

3- فكّك العبارة \((x+1)^2 - 1\) ثم استنتج تفكيكاً للعبارة \(N\)

4- أوجد \(x\) في حالة \(N = M\)

5- نعتبر شبه منحرف \(ABCD\) قاعدتاه \([AB]\) و \([CD]\) قائم في \(A\) و \(D\) حيث \(AB = x + 5\) و \(AD = x + 1\) و \(CD = 2x\) و \(x > 1\)

أوجد العدد الحقيقي \(x\) علماً أن للمثلثين \(ABD\) و \(ACD\) نفس المساحة

التقدم: لم تبدأ بعد

حوّل \(M\) إلى \((x+3)^2-4\).
\((x+1)^2-1\) فرق مربعين.
في المسألة الهندسية، استعمل صيغة مساحة المثلث: \dfrac{\text{القاعدة}\times\text{الارتفاع}}2.

نحسب ونفكك \(M\) و\(N\). ثم نحل \(N=M\). في الجزء الهندسي، بما أن شبه المنحرف قائم، فإن الارتفاع هو \(AD=x+1\)، ونساوي مساحتي المثلثين.

إذا \(x=\sqrt3-1\):

\[M=(\sqrt3-1)^2+6(\sqrt3-1)+5=3+4\sqrt3\]

كما أن:

\[M=x^2+6x+5=(x+3)^2-4=(x+1)(x+5)\]

\[(x+1)^2-1=x(x+2)\]

\[N=x^2+(x+1)^2-1=x^2+x(x+2)=2x(x+1)\]

إذا \(N=M\):

\[2x^2+2x=x^2+6x+5\]

\[x^2-4x-5=0=(x-5)(x+1)\]

\[x=5\quad \text{أو}\quad x=-1\]

في الجزء الهندسي:

\[S_{ABD}=\dfrac{AB\times AD}{2}=\dfrac{(x+5)(x+1)}2\]

\[S_{ACD}=\dfrac{CD\times AD}{2}=\dfrac{2x(x+1)}2=x(x+1)\]

بما أن المساحتين متساويتان و \(x>1\):

\[\dfrac{(x+5)(x+1)}2=x(x+1)\Rightarrow x+5=2x\Rightarrow x=5\]

الجذاءات المعتبرة — التمرين 8