الجذاءات المعتبرة — التمرين 7

دفواراتي
نص التمرين
تمرين 7

التمرين رقم 7

نعتبر العبارتين :

\[A = (x\sqrt{3}+1)^2 - (x-\sqrt{3})^2 \qquad B = (x\sqrt{2}+1)(x\sqrt{2}-1)\]

1- أنشر واختصر العبارتين \(A\) و \(B\)

2- اكتب على شكل جذاء عوامل العبارة \(A\)

3- جد مجموعة الأعداد الحقيقية \(x\) حيث \(A = 0\)

4- جد مجموعة الأعداد الحقيقية \(x\) حيث \(A\) هو مقابل \(B\)

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • العبارة \(A\) فرق مربعين: ضع \(u=x\sqrt3+1\) و\(v=x-\sqrt3\).
  • العبارة \(B\) أيضاً فرق مربعين.
  • عند حل \(A=0\)، كل عامل يساوي صفراً يعطي حلاً.

📝 الطريقة

ننشر \(A\) و\(B\)، ثم نفكك \(A\) باستعمال \(u^2-v^2\). لحالة \(A\) مقابل \(B\)، نحل \(A+B=0\).

✅ الحل الكامل

نحسب بالنشر:

\[A=(x\sqrt3+1)^2-(x-\sqrt3)^2\]
\[A=(3x^2+2\sqrt3x+1)-(x^2-2\sqrt3x+3)=2x^2+4\sqrt3x-2\]
\[B=(x\sqrt2+1)(x\sqrt2-1)=2x^2-1\]

ولتفكيك \(A\)، نضع \(u=x\sqrt3+1\) و\(v=x-\sqrt3\):

\[A=(u-v)(u+v)\]
\[A=[x(\sqrt3-1)+1+\sqrt3][x(\sqrt3+1)+1-\sqrt3]\]

إذا \(A=0\)، نحصل على:

\[x=-2-\sqrt3\quad \text{أو}\quad x=2-\sqrt3\]

إذا كان \(A\) هو مقابل \(B\)، فإن \(A+B=0\):

\[(2x^2+4\sqrt3x-2)+(2x^2-1)=0\]
\[4x^2+4\sqrt3x-3=0\]
\[x=\dfrac{-\sqrt3+\sqrt6}{2}\quad \text{أو}\quad x=\dfrac{-\sqrt3-\sqrt6}{2}\]