الجذاءات المعتبرة — التمرين 6

دفواراتي
نص التمرين
تمرين 6

التمرين رقم 6

1- بيّن أن \((a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab\)

2- استنتج حساباً للعدد \(1000{,}001^2 - 999{,}999^2\)

3- أحسب العدد \(ab\) إذا علمت أن \(a + b = 18\) و \(a - b = 4\)

4- بيّن أن \((a+1)^2 - (a-1)^2 = 4a\)

5- أحسب إذن \(1001^2 - 999^2\) و \(10001^2 - 9999^2\)

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • لا تنشر الأعداد الكبيرة.
  • استعمل قاعدة فرق مربعين: \(u^2-v^2=(u-v)(u+v)\).
  • في السؤال 3 استعمل \((a+b)^2-(a-b)^2=4ab\).

📝 الطريقة

نثبت الهوية بالنشر، ثم نستعملها مباشرة للحسابات السريعة دون استعمال الآلة.

✅ الحل الكامل

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]
\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]
\[(a+b)^2-(a-b)^2=4ab\]

لذلك:

\[1000{,}001^2-999{,}999^2=(1000{,}001-999{,}999)(1000{,}001+999{,}999)\]
\[=2\times2{,}000{,}000=4{,}000{,}000\]

إذا \(a+b=18\) و\(a-b=4\):

\[18^2-4^2=4ab\Rightarrow 324-16=4ab\]
\[308=4ab\Rightarrow ab=77\]

كما أن:

\[(a+1)^2-(a-1)^2=4a\]
\[1001^2-999^2=4\times1000=4000\]
\[10001^2-9999^2=4\times10000=40000\]