الجذاءات المعتبرة — التمرين 4

دفواراتي
نص التمرين
تمرين 4

التمرين رقم 4

لتكن العبارتان :

\[E = 2x^2 + 6\sqrt{2}x + 5 \qquad F = (\sqrt{2}x - 3)(\sqrt{2}x + 1)\]

1- أ- أحسب القيمة العددية للعبارة \(E\) إذا كان \(x = -\sqrt{2}\)

ب- أحسب القيمة العددية للعبارة \(F\) حيث \(x = -1\)

2- أ- بيّن أن \(E = (\sqrt{2}x + 3)^2 - 4\)

ب- استنتج تفكيكاً للعبارة \(E\)

3- بيّن أن \(E + F = 2 \times (\sqrt{2}x + 1)^2\)

4- أ- أوجد العدد الحقيقي \(x\) حيث \(2x^2 + 6\sqrt{2}x + 5 = (\sqrt{2}x - 3)(\sqrt{2}x + 1)\)

ب- أوجد العدد الحقيقي \(x\) حيث \(\sqrt{E + F} = 2\sqrt{2}\)

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • لاحظ أن \(E=(\sqrt2x+3)^2-4\).
  • استعمل فرق مربعين لتفكيك \(E\).
  • في \(E+F\)، أخرج العامل المشترك \(\sqrt2x+1\).

📝 الطريقة

نبدأ بالقيم العددية. ثم نثبت الصيغة المطلوبة بالنشر. بعد ذلك نستعمل التفكيك لحل \(E=F\)، ونستعمل \(E+F=2(\sqrt2x+1)^2\) لحل معادلة الجذر.

✅ الحل الكامل

إذا \(x=-\sqrt2\):

\[E=2(2)+6\sqrt2(-\sqrt2)+5=4-12+5=-3\]

إذا \(x=-1\):

\[F=(-\sqrt2-3)(-\sqrt2+1)=2\sqrt2-1\]

كما أن:

\[(\sqrt2x+3)^2-4=2x^2+6\sqrt2x+9-4=E\]

إذن:

\[E=(\sqrt2x+1)(\sqrt2x+5)\]

وبما أن \(F=(\sqrt2x-3)(\sqrt2x+1)\)، فإن:

\[E+F=(\sqrt2x+1)[(\sqrt2x+5)+(\sqrt2x-3)]\]
\[E+F=2(\sqrt2x+1)^2\]

إذا \(E=F\):

\[E-F=8(\sqrt2x+1)=0\Rightarrow x=-\dfrac{\sqrt2}{2}\]

إذا \(\sqrt{E+F}=2\sqrt2\):

\[E+F=8\Rightarrow 2(\sqrt2x+1)^2=8\]
\[(\sqrt2x+1)^2=4\]
\[x=\dfrac{\sqrt2}{2}\quad \text{أو}\quad x=-\dfrac{3\sqrt2}{2}\]