الجذاءات المعتبرة

نص التمرين

تمرين 3

نعتبر العبارة \(A\) التالية \(A = -8x^2 + 6x - 1\)

1- أحسب القيمة العددية للعبارة \(A\) في حالة \(x = -\dfrac{\sqrt{2}}{4}\)

2- أ- بيّن أن \(x^2 - A = (3x-1)^2\)

ب- استنتج أن \(A = (-2x+1)(4x-1)\)

3- لتكن العبارة \(B = A - 4x^2 + 2x\)

أ- أثبت أن \(B = (-2x+1)(6x-1)\)

ب- أوجد العدد الحقيقي \(x\) بحيث \(A = 4x^2 - 2x\)

التقدم: لم تبدأ بعد

في السؤال 1، عوّض ثمّ استعمل \(\left(\sqrt{2}\right)^{2}=2\) : لا تحسب بالمقرّبات.
احسب \(x^{2}-A\) : ستجد \(9x^{2}-6x+1\)، و هو نشر لمربّع.
عندئذ \(A=x^{2}-\left(3x-1\right)^{2}\) : فرق مربّعين.
🔑 في السؤال 3، \(B\) مكتوب بدلالة \(A\) : لا تنشر من جديد، استعمل ما وجدته.
« أوجد \(x\) بحيث \(A=4x^{2}-2x\) » يعود إلى \(B=0\) : جذاء يساوي صفر.

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته و بسّط.

الخطوة 2 : احسب \(x^{2}-A\) ثمّ تعرّف على \(\left(3x-1\right)^{2}\).

الخطوة 3 : اكتب \(A=x^{2}-\left(3x-1\right)^{2}\) و طبّق \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\).

الخطوة 4 : عوّض \(A\) في \(B\) ثمّ اختصر، و تعرّف على الجذاء المطلوب.

الخطوة 5 : \(A=4x^{2}-2x\) يكافئ \(B=0\) : استعمل تفكيك \(B\).

1) عند \(x=-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\) لدينا \(x^{2}=\dfrac{1}{8}\) :

\[A=-8\times\dfrac{1}{8}+6\times\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)-1=-1-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-1=-2-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\]

2) أ- \(x^{2}-A\) :

\[x^{2}-A=x^{2}+8x^{2}-6x+1=9x^{2}-6x+1=\left(3x\right)^{2}-2\times 3x\times 1+1^{2}=\left(3x-1\right)^{2}\]

ب- إذن \(A=x^{2}-\left(3x-1\right)^{2}\)، و هو فرق مربّعين :

\[A=\big(x-(3x-1)\big)\big(x+(3x-1)\big)=(1-2x)(4x-1)=(-2x+1)(4x-1)\]

3) أ- \(B=A-4x^{2}+2x\) :

\[B=-8x^{2}+6x-1-4x^{2}+2x=-12x^{2}+8x-1\]

\[(-2x+1)(6x-1)=-12x^{2}+2x+6x-1=-12x^{2}+8x-1=B\]

ب- \(A=4x^{2}-2x\) يكافئ \(A-4x^{2}+2x=0\)، أي \(B=0\) :

\[(-2x+1)(6x-1)=0\]

جذاء يساوي صفر، إذن \(-2x+1=0\) أو \(6x-1=0\) :

\[x=\dfrac{1}{2}\quad\text{أو}\quad x=\dfrac{1}{6}\]

الجذاءات المعتبرة — التمرين 3