الجذاءات المعتبرة — التمرين 2

دفواراتي
نص التمرين
تمرين 2

التمرين رقم 2

نعتبر العبارتين \(A\) و \(B\) التاليتين :

\[A = x^2 - 25 \qquad B = 3x^2 - 17x + 10\]

1- أحسب \(B\) إذا علمت أن \(x = \dfrac{1}{3} + \sqrt{2}\)

2- بيّن أن \(B = (x-5)(3x-2)\)

3- أوجد العدد \(x\) في كل حالة :

أ- \(A = B\)

ب- \(3A\) و \(B\) متقابلان

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • استعمل النشر للتحقق من تفكيك \(B\).
  • لاحظ أن \(A=x^2-25=(x-5)(x+5)\).
  • في المعادلات، اجعل كل شيء في طرف واحد ثم فكك.

📝 الطريقة

نحسب أولاً القيمة العددية لـ \(B\). ثم نثبت التفكيك بالنشر. لحل \(A=B\)، نستعمل تفكيكي \(A\) و\(B\). أما كون \(3A\) و\(B\) متقابلين فيعني \(3A+B=0\).

✅ الحل الكامل

نثبت التفكيك:

\[(x-5)(3x-2)=3x^2-2x-15x+10=3x^2-17x+10=B\]

إذا كان \(x=\dfrac13+\sqrt2\):

\[3x-2=3\left(\dfrac13+\sqrt2\right)-2=3\sqrt2-1\]
\[x-5=\sqrt2-\dfrac{14}{3}\]
\[B=\left(\sqrt2-\dfrac{14}{3}\right)(3\sqrt2-1)=\dfrac{32}{3}-15\sqrt2\]

كما أن:

\[A=x^2-25=(x-5)(x+5)\]

إذا \(A=B\):

\[(x-5)(x+5)=(x-5)(3x-2)\]
\[(x-5)(7-2x)=0\]

إذن:

\[x=5\quad \text{أو}\quad x=\dfrac72\]

إذا كان \(3A\) و \(B\) متقابلين:

\[3A+B=0\]
\[3(x^2-25)+(3x^2-17x+10)=0\]
\[6x^2-17x-65=0=(x-5)(6x+13)\]

إذن:

\[x=5\quad \text{أو}\quad x=-\dfrac{13}{6}\]