الجذاءات المعتبرة — التمرين 1

دفواراتي
نص التمرين
تمرين 1

التمرين رقم 1

نعتبر العبارة \(E = -x^2 + 4x + 4\) حيث \(x\) عدد حقيقي

1- أ- بيّن أن \(E = 8 - (x-2)^2\)

ب- استنتج أن \(E \leq 8\)

2- في حالة \(x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

أ- أحسب \(E\)

ب- استنتج مقارنة لـ \(2\sqrt{3}\) و \(\dfrac{19}{4}\)

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • س1: ابدأ من \((x-2)^2=x^2-4x+4\)، ثم غيّر الإشارة.
  • س2: تذكّر أن مربع أي عدد حقيقي موجب أو يساوي صفر.
  • س3: عوّض \(x=\dfrac{\sqrt3}{2}\) ثم استعمل النتيجة \(E\le 8\) للمقارنة.

📝 الطريقة

الفكرة: نحول العبارة إلى \(8\) ناقص مربع. ثم نستعمل أن المربع لا يكون سالباً.

بعد ذلك نحسب \(E\) عند القيمة المعطاة ونقارن النتيجة مع \(8\).

✅ الحل الكامل

لدينا:

\[8-(x-2)^2=8-(x^2-4x+4)=-x^2+4x+4=E\]

إذن \(E=8-(x-2)^2\).

وبما أن \((x-2)^2\ge0\)، فإن:

\[E=8-(x-2)^2\le8\]

عند \(x=\dfrac{\sqrt3}{2}\):

\[E=-\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2+4\times\dfrac{\sqrt3}{2}+4=-\dfrac34+2\sqrt3+4=\dfrac{13}{4}+2\sqrt3\]

وبما أن \(E\le8\)، فإن:

\[\dfrac{13}{4}+2\sqrt3\le8\]
\[2\sqrt3\le\dfrac{19}{4}\]