التمرين الثاني

نعتبر العددين الحقيقيين: $$ a = \sqrt{\frac{7}{4}-\frac{\sqrt{6}}{2}} + \frac{5-(\sqrt{2}-1)^2}{4} \quad \text{و} \quad b = \sqrt{6} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1} $$

- أ) بيّن أنّ: $ a = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} $ و $ b = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} $.
- ب) بيّن أنّ: a مقلوب b ثم استنتج أن $b < 1$.
إذا كان x عددا حقيقيا حيث $0 < x < 1$.
- أ) بيّن أنّ $ x+1 < \frac{1}{1-x} $.
- ب) استنتج أن $ \sqrt{6}+2-\sqrt{2} < \frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2\sqrt{2}-\sqrt{6}} $.
(وحدة قيس الطول هي الصم)
ليكن ADC مثلثا قائما في A و O منتصف وتره [DC] حيث $DC=2$ و $\angle AOC = 30^\circ$.
و H المسقط العمودي لـ A على (DC) و E مناظرة A بالنسبة إلى H.
- أ) بيّن أن المثلث AOE متقايس الأضلاع.
- ب) استنتج أنّ: $AD=a$ و $AC=b$.

تصحيح مفصل للتمرين

تصحيح السؤال 1 و 2 (الجزء الجبري)

(الحل لهذه الأسئلة جبري ولا يتغير)
1.أ) تبيين قيم a و b:
a = $ \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} $ و b = $ \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} $ بعد التبسيط.
1.ب) a مقلوب b: $ a \times b = \frac{6-2}{4}=1 $. بما أن $a>1$، فإن مقلوبه $b$ أصغر من 1.
2.أ) المتراجحة: بما أن $0 < x < 1$، فإن $1-x > 0$. المتراجحة $x+1 < \frac{1}{1-x}$ تكافئ $(x+1)(1-x)<1$ أي $1-x^2<1$ أي $-x^2<0$ وهو صحيح لأن $x \neq 0$.

تصحيح السؤال 3 (الجزء الهندسي - بدون حساب مثلثات)

أ) بيّن أن المثلث AOE متقايس الأضلاع:
1. في المثلث ADC القائم في A، O هي منتصف الوتر [DC]. حسب نظرية المتوسط المتعلق بالوتر، فإن طول المتوسط [AO] يساوي نصف طول الوتر.
إذن $ OA = \frac{DC}{2} = \frac{2}{2} = 1 $.
2. لدينا E هي مناظرة A بالنسبة إلى H. هذا يعني أن H هي منتصف [AE] والمستقيم (DC) هو الموسط العمودي للقطعة [AE].
بما أن النقطة O تنتمي للموسط العمودي (DC)، فإنها متساوية البعد عن طرفي القطعة A و E. أي $ OE = OA $.
وجدنا أن $OA=1$، إذن $OE=1$.
3. لنحسب الآن طول AE. لدينا $AE = 2 \times AH$. يجب أن نجد AH.
نعتبر المثلث AOH. هو مثلث قائم في H لأن H هي المسقط العمودي. وتره هو [AO] الذي طوله 1. الزاوية $ \angle AOH $ هي نفسها $ \angle AOC $ المعطاة، وتساوي 30 درجة.
في المثلث القائم الذي زواياه 30-60-90، طول الضلع المقابل للزاوية 30° يساوي نصف طول الوتر.
في المثلث AOH، الضلع المقابل للزاوية 30° هو [AH]. إذن $ AH = \frac{OA}{2} = \frac{1}{2} $.
4. نستنتج طول AE: $ AE = 2 \times AH = 2 \times \frac{1}{2} = 1 $.
5. وجدنا أن $OA=1$، $OE=1$ و $AE=1$. بما أن جميع أضلاع المثلث AOE متقايسة، فهو مثلث متقايس الأضلاع.

ب) استنتج أنّ: $AD=a$ و $AC=b$:
لنحسب طولي AC و AD باستخدام مبرهنة فيثاغورس.
1. في المثلث القائم AOH، لدينا $ OA^2 = AH^2 + OH^2 $.
$ 1^2 = (\frac{1}{2})^2 + OH^2 \implies 1 = \frac{1}{4} + OH^2 \implies OH^2 = \frac{3}{4} \implies OH = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
2. نحسب الآن طولي HC و HD. بما أن O منتصف [DC] و DC=2، فإن OC=OD=1.
$ HC = OC - OH = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} $.
$ HD = OD + OH = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} $.
3. نطبق فيثاغورس في المثلثين القائمين AHC و AHD:
في AHC: $ AC^2 = AH^2 + HC^2 = (\frac{1}{2})^2 + (1-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{4} + (1 - \sqrt{3} + \frac{3}{4}) = 2 - \sqrt{3} $.
في AHD: $ AD^2 = AH^2 + HD^2 = (\frac{1}{2})^2 + (1+\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{4} + (1 + \sqrt{3} + \frac{3}{4}) = 2 + \sqrt{3} $.
4. الآن نقارن مع مربعات العددين a و b من السؤال الأول:
$ a^2 = \left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{6+2\sqrt{12}+2}{4} = \frac{8+4\sqrt{3}}{4} = 2+\sqrt{3} $.
$ b^2 = \left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{6-2\sqrt{12}+2}{4} = \frac{8-4\sqrt{3}}{4} = 2-\sqrt{3} $.
5. نلاحظ أن $ AD^2 = a^2 $ و $ AC^2 = b^2 $. بما أن الأطوال أعداد موجبة، نستنتج أن $ \mathbf{AD=a} $ و $ \mathbf{AC=b} $.