الإعدادية النموذجية - مدنين
الأستاذ: علوان

فرض مراقبة عدد 3 في الرياضيات

التاريخ: جانفي 2020
المدة: 45 دقيقة
التاسعة أساسي 3+2

التمرين الاول (4 ن) أجِب بصواب أو خطأ

اذا كان ABCD متوازي اضلاع حيث: \( AB = 2\sqrt{3}+1 \) و \( AC = \sqrt{24} \) و \( BD = \sqrt{12}+4 \) فإن ABCD معين.
لاحظ الرسم المصاحب ABCD رباعي محدب حيث: (وحدة قيس الطول هي الصم) \( \angle ABC = \angle ADC = 90^\circ \) و \( AD=DC \) و \( AB+BC=1 \). فإن مساحة الرباعي ABCD تساوي \(0,5\text{cm}^2\).
\( b = 2017^2 - 2018^2 + 2019^2 - 2020^2 \) و \( a = 2017+2018+2019+2020 \) هما عددان متقابلان.
عدد الأعداد الصحيحة الطبيعية n التي تحقق ان \( n^2-40 \) مربع كامل هو 3.

التمرين الثاني (7 ن)

I/ نعتبر العددين الحقيقين: \( a=\sqrt{45}-\sqrt{21-4\sqrt{5}}+\sqrt{\frac{81}{4}} \) و \( b=\sqrt{20}+\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}+2} - \left(\sqrt{5}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \).

بيّن أن \( a=\sqrt{5}+1 \) و \( b=\sqrt{5}-1 \).

II/ نعتبر العبارة \( A=x^2-2x-4 \) حيث x عدد حقيقي.

أ) احسب العبارة A في حالة \( x=\sqrt{5}+1 \).
ب) بيّن أن \( a-2 = b \) ثم استنتج أن \( \frac{b}{4} \) هو مقلوب a.
أ) بيّن أن \( A=(x-1)^2-5 \).
ب) استنتج تفكيكا إلى جذاء عوامل للعبارة A.
ج) جد العدد الحقيقي x في حالة \(A=0\).

(3) (وحدة قيس الطول هي الصم)
لاحظ الرسم حيث ABC مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية A حيث \(AB=AC=\varphi\) و \(\angle CAB=36^\circ\) و \(\varphi\) عدد حقيقي موجب.
و [Bx) منصف الزاوية [BA;BC] يقطع [AC] في D.

أ) بيّن أن \(BD=AD=BC\).
ب) المستقيم المار من C والموازي لـ (Bx) يقطع المستقيم (AB) في E. بيّن أن \(BE=BC\).
ج) إذا كان \(BC=2\) بيّن أن \( \varphi = \frac{2}{\varphi+2} \) ثم أوجد \(\varphi\).

التمرين الثالث (6 ن) (وحدة قيس الطول هي الصم)

ليكن ABC مثلثا قائما في A و H المسقط العمودي لـ A على (BC) حيث \(BC=10\).
- أ) بيّن أن \(HB=2\) و \(HC=8\).
- ب) استنتج أن 4 = AH.
- ج) ابن المثلث ABC ثم احسب AB و AC.
المستقيم العمودي على (BC) في B يقطع (AC) في D. احسب BD.
لتكن ℭ الدائرة التي قطرها [DB] و مركزها O. ℭ تقطع [AH] ثانية في E. بيّن ان \(EH=1\).

التمرين الرابع (تمرين تميّز) (2 ن)

a و b عددان حقيقيان موجبان قطعا بحيث: \( a^2+b^2=2 \). بيّن أن \( \frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} = \frac{2}{a+b} \).
ABC مثلث و لتكن H المسقط العمودي لـ A على (BC) (\(H \in [BC]\)). (وحدة قيس الطول هي الصم).
احسب مساحة المثلث ABC حيث \(AC=15\) و \(AB=13\) و \(BC=14\).

تصحيح مفصل للتمارين

تصحيح التمرين الأول

1) صواب. في متوازي الأضلاع لدينا \(AC^{2}+BD^{2}=2\left(AB^{2}+BC^{2}\right)\)، و هو معين إذا و فقط إذا كان \(BC=AB\)، أي إذا كان \(AC^{2}+BD^{2}=4AB^{2}\).

\(AC^{2}=24\) و \(BD^{2}=\left(2\sqrt{3}+4\right)^{2}=12+16\sqrt{3}+16=28+16\sqrt{3}\)، إذن \(AC^{2}+BD^{2}=52+16\sqrt{3}\).

و \(4AB^{2}=4\left(2\sqrt{3}+1\right)^{2}=4\left(13+4\sqrt{3}\right)=52+16\sqrt{3}\).

المقداران متساويان، إذن \(BC=AB\) و الرباعي \(ABCD\) معين.

2) خطأ. الرباعي مكون من مثلثين قائمين ABD و CBD لهما نفس الوتر BD. مساحته هي \( \frac{1}{2}AD \cdot AB + \frac{1}{2}CD \cdot CB \). بما أن \(AD=CD\)، فالمساحة هي \( \frac{1}{2}AD(AB+CB) = \frac{1}{2}AD(1) = AD/2 \). لا توجد معلومات كافية لإيجاد AD.

3) صواب. \( b = (2017-2018)(2017+2018) + (2019-2020)(2019+2020) = (-1)(4035) + (-1)(4039) = -8074 \).
\( a = (2017+2020)+(2018+2019) = 4037+4037=8074 \). إذن \(a=-b\).

4) خطأ. \( n^2-40=k^2 \implies n^2-k^2=40 \implies (n-k)(n+k)=40 \). يجب أن يكون العاملان لهما نفس الزوجية. الخيارات الممكنة هي (2,20) و (4,10).
- \(n-k=2, n+k=20 \implies 2n=22 \implies n=11\).
- \(n-k=4, n+k=10 \implies 2n=14 \implies n=7\).
إذن يوجد عددان (7 و 11)، وليس 3.

تصحيح التمرين الثاني

I.1) (يوجد خطأ في نص السؤال). \( a = 3\sqrt{5} - \sqrt{(\sqrt{5}-2)^2} + 4.5 = 3\sqrt{5}-(\sqrt{5}-2)+4.5 = 2\sqrt{5}+6.5 \). بافتراض أن \(a=\sqrt{5}+1\) و \(b=\sqrt{5}-1\).
II.1.أ) \( A = (\sqrt{5}+1)^2 - 2(\sqrt{5}+1)-4 = (6+2\sqrt{5}) - 2\sqrt{5}-2-4 = 0 \).
II.1.ب) \(a-2 = \sqrt{5}-1 = b\). \( a \times \frac{b}{4} = (\sqrt{5}+1) \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \frac{4}{4}=1 \). إذن \(a\) مقلوب \(b/4\).
II.2.أ) \( (x-1)^2-5 = x^2-2x+1-5 = x^2-2x-4=A \).
II.2.ب) \( A=(x-1)^2-(\sqrt{5})^2 = (x-1-\sqrt{5})(x-1+\sqrt{5}) \).
II.2.ج) \(A=0 \implies x=1\pm\sqrt{5}\).

3.أ) في المثلث ABC، \( \angle B = \angle C = (180-36)/2 = 72^\circ \). [Bx) منصف، إذن \( \angle CBD = \angle DBA = 36^\circ \).
- في المثلث BCD، \( \angle BDC = 180-72-36=72^\circ \). إذن هو متقايس الضلعين \(BC=BD\).
- في المثلث ABD، \( \angle DAB = 36^\circ \) و \( \angle DBA=36^\circ \). إذن هو متقايس الضلعين \(AD=BD\).
3.ب) (CE)//(BD) و (CD)//(BE) إذن BCED متوازي أضلاع. إذن \(BE=CD\).
3.ج) حسب طالس في المثلث AEC مع (BD)//(EC)، لدينا \( \frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AE} \). و \( \frac{AD}{AC} = \frac{BC}{AB} \).

تصحيح التمرين الثالث

1.أ) (السؤال به معطيات زائدة، يكفي BH=2 و CH=8).
1.ب) في المثلث القائم ABC، \( AH^2 = HB \times HC = 2 \times 8 = 16 \). إذن \(AH=4\).
1.ج) \(AB^2 = AH^2+HB^2 = 16+4=20 \implies AB=2\sqrt{5}\). \(AC^2 = AH^2+HC^2=16+64=80 \implies AC=4\sqrt{5}\).
2) (BD) ⊥ (AB). المثلث ABD قائم في B. BCD مثلث. D, A, C على استقامة واحدة. (BD) ⊥ (BC). \( \triangle ABC \sim \triangle BDC \). \( \frac{BD}{AB}=\frac{BC}{AC} \). \( BD = \frac{10 \times 2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=5 \).
3) H(2,0), A(2,4), D(0,y). لا يمكن حلها بهذه الطريقة.