التمرين الأول (4 ن)

أجب بصواب أو خطأ:

• 1) ليكن x عددا حقيقيا حيث \( x < -\frac{1}{2} \). فإن \( \sqrt{5}(2-\sqrt{20}) < x+1 \). إظهار/إخفاء الحل

  الخطوة 1: نبسط الطرف الأيسر من المتراجحة.
  \( \sqrt{5}(2-\sqrt{20}) = \sqrt{5}(2-\sqrt{4 \times 5}) = \sqrt{5}(2-2\sqrt{5}) = 2\sqrt{5} - 2(\sqrt{5})^2 = 2\sqrt{5} - 10 \).
  الخطوة 2: نقدر قيمة هذا العدد. \( \sqrt{5} \approx 2.23 \). إذن \( 2\sqrt{5} - 10 \approx 2(2.23) - 10 = 4.46 - 10 = -5.54 \).
  الخطوة 3: ننظر إلى الطرف الأيمن. لدينا \( x < -0.5 \). بإضافة 1 إلى الطرفين، نحصل على \( x+1 < -0.5 + 1 \)، أي \( x+1 < 0.5 \).
  الخطوة 4: نقارن. وجدنا أن الطرف الأيسر يساوي تقريبا -5.54، والطرف الأيمن هو عدد أصغر من 0.5. بما أن -5.54 أصغر من أي عدد أقل من 0.5، فإن المتراجحة صحيحة.
  الإجابة: صواب.

• 2) (وحدة قيس الطول هي الصم) لاحظ الرسم المصاحب. ACE مثلث حيث AC=12 و AE=20 و EC=16. D نقطة من [CE] و B نقطة من [AC] و F نقطة من [AE]. حيث ED=12 و AB=3 و AF=15. فإن مساحة المثلث BDF تساوي 42 cm². إظهار/إخفاء الحل

  الخطوة 1: نتحقق من طبيعة المثلث ACE. هل هو قائم؟
  \( AC^2 + EC^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 \).
  \( AE^2 = 20^2 = 400 \).
  بما أن \( AC^2 + EC^2 = AE^2 \)، فإن المثلث ACE قائم الزاوية في C حسب مبرهنة فيثاغورس العكسية.
  الخطوة 2: نضع الشكل في معين متعامد. لنضع C عند المبدأ (0,0). بما أن الزاوية C قائمة، يمكننا وضع E على محور السينات و A على محور الصادات.
  - C = (0, 0)
  - E = (16, 0) (لأن EC=16)
  - A = (0, 12) (لأن AC=12)
  الخطوة 3: نجد إحداثيات النقاط B, D, F.
  - D على [CE] و ED=12. إذن CD = 16-12=4. D = (4, 0).
  - B على [AC] و AB=3. إذن CB = 12-3=9. B = (0, 9).
  - F على [AE] و AF=15. إذن EF = 20-15=5. F هي النقطة التي تقسم [AE] بنسبة 1:3 (EF/FA = 5/15).
  \( F = \frac{3E+1A}{4} = \frac{3(16,0)+1(0,12)}{4} = \frac{(48,0)+(0,12)}{4} = (\frac{48}{4}, \frac{12}{4}) = (12, 3) \).
  الخطوة 4: نحسب مساحة المثلث BDF بالنقاط B(0,9), D(4,0), F(12,3).
  المساحة = \( \frac{1}{2} |x_B(y_D-y_F) + x_D(y_F-y_B) + x_F(y_B-y_D)| \)
  = \( \frac{1}{2} |0(0-3) + 4(3-9) + 12(9-0)| = \frac{1}{2} |0 + 4(-6) + 12(9)| = \frac{1}{2} |-24 + 108| = \frac{1}{2} |84| = 42 \).
  الإجابة: صواب.

• 3) a و b عددان حقيقيان سالبان حيث \( a^2-3 = b^2-2\sqrt{3} \) فإن \( a>b \). إظهار/إخفاء الحل

  الخطوة 1: نعيد ترتيب المعادلة لمقارنة \( a^2 \) و \( b^2 \).
  \( a^2 - b^2 = 3 - 2\sqrt{3} \).
  الخطوة 2: نحدد إشارة الفرق. \( 3^2=9 \) و \( (2\sqrt{3})^2=12 \). بما أن \( 9 < 12 \)، فإن \( 3 < 2\sqrt{3} \).
  إذن \( 3 - 2\sqrt{3} \) هو عدد سالب. وبالتالي \( a^2 - b^2 < 0 \)، مما يعني \( a^2 < b^2 \).
  الخطوة 3: نستنتج المقارنة بين a و b. بما أن a و b عددان سالبان، فإن العلاقة بينهما تكون عكس العلاقة بين مربعيهما.
  مثال: -3 < -2، لكن \( (-3)^2 > (-2)^2 \) (أي 9 > 4).
  بما أن \( a^2 < b^2 \) و a, b سالبان، فإن \( a > b \).
  الإجابة: صواب.

• 4) \( \sqrt{8-3\sqrt{7}} > 8-3\sqrt{7} \).
  إظهار/إخفاء الحل

  الفكرة: نقارن العدد \( X = 8-3\sqrt{7} \) مع 0 و 1. ثم نقارنه بـ \( \sqrt{X} \).

  الخطوة 1: نتحقق أن العدد موجب. \( 8^2=64 \) و \( (3\sqrt{7})^2 = 9 \times 7 = 63 \). بما أن \( 64 > 63 \)، فإن \( 8 > 3\sqrt{7} \). إذن \( 8 - 3\sqrt{7} \) عدد موجب.
  الخطوة 2: نقارن العدد بـ 1. هل \( 8 - 3\sqrt{7} < 1 \)؟ هذا يكافئ \( 7 < 3\sqrt{7} \). نربع الطرفين: \( 49 < 9 \times 7 \)، أي \( 49 < 63 \). هذا صحيح. إذن العدد \( 8 - 3\sqrt{7} \) يقع بين 0 و 1.
  الخطوة 3: خاصية: لأي عدد X بين 0 و 1، فإن جذره التربيعي يكون أكبر منه ( \( \sqrt{X} > X \) ).
  إذن، \( \sqrt{8-3\sqrt{7}} > 8-3\sqrt{7} \).
  الإجابة: صواب.

التمرين الثاني (6 ن)

نعتبر العبارة \( A = x^2+2x-2 \) حيث x عدد حقيقي.

1. احسب العبارة A في حالة: \( x = \sqrt{3}-1 \).
2. أ) بيّن أن \( A = (x+1)^2-3 \).    ب) استنتج تفكيكا إلى جذاء عوامل للعبارة A.
   ج) جد العدد الحقيقي x في حالة A = 0.
3. (وحدة قيس الطول هي الصم) لاحظ الرسم. ABCD مربع حيث AB=1 و E نقطة من [AD] و F نقطة من [CD] حيث BF=EF=BE (أي EBF مثلث متقايس الأضلاع). ليكن a عدد حقيقي موجب أصغر من 1 حيث DF=DE=a.
   أ) بيّن أن \( a = \sqrt{3}-1 \). (تم تصحيح خطأ مطبعي في السؤال)
   ب) احسب مساحة المثلث BEF بطريقتين مختلفتين.