Generated code

التمرين الأول (الجبر)

ليكن x عدد حقيقي ولتكن العبارتين:
\( A = x^2 + 2\sqrt{2}x - 6 \) و \( B = 2x^2 - 3\sqrt{2}x + 2 \)

  1. أ) بيّن أن \( A = (x+\sqrt{2})^2 - 8 \).
    ب) استنتج تفكيك العبارة A إلى جذاء عوامل: \( A = (x-\sqrt{2})(x+3\sqrt{2}) \).
    ج) برهن أن \( B = (x-\sqrt{2})(2x-\sqrt{2}) \).
  2. حل في \(\mathbb{R}\) المعادلة \( A=B \).
  3. حل في \(\mathbb{R}\) المتراجحة \( A \le 0 \).

تصحيح مفصل

1. أ) إثبات الشكل النموذجي لـ A:
ننشر الطرف الأيمن: \( (x+\sqrt{2})^2 - 8 = (x^2 + 2\sqrt{2}x + 2) - 8 = x^2 + 2\sqrt{2}x - 6 \). وهو يساوي A.

1. ب) تفكيك A:
نستخدم الشكل النموذجي ونعتبره فرق مربعين: \( A = (x+\sqrt{2})^2 - (\sqrt{8})^2 = (x+\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{2})^2 \).
\( A = ((x+\sqrt{2}) - 2\sqrt{2})((x+\sqrt{2}) + 2\sqrt{2}) = (x-\sqrt{2})(x+3\sqrt{2}) \).

1. ج) إثبات تفكيك B:
ننشر الطرف الأيمن: \( (x-\sqrt{2})(2x-\sqrt{2}) = 2x^2 - x\sqrt{2} - 2x\sqrt{2} + 2 = 2x^2 - 3\sqrt{2}x + 2 \). وهو يساوي B.

2) حل المعادلة A=B:
\( (x-\sqrt{2})(x+3\sqrt{2}) = (x-\sqrt{2})(2x-\sqrt{2}) \)
\( (x-\sqrt{2})(x+3\sqrt{2}) - (x-\sqrt{2})(2x-\sqrt{2}) = 0 \)
نأخذ \( (x-\sqrt{2}) \) كعامل مشترك:
\( (x-\sqrt{2})[(x+3\sqrt{2}) - (2x-\sqrt{2})] = 0 \)
\( (x-\sqrt{2})(x+3\sqrt{2} - 2x+\sqrt{2}) = 0 \)
\( (x-\sqrt{2})(-x+4\sqrt{2}) = 0 \).
إما \( x-\sqrt{2}=0 \implies x=\sqrt{2} \) أو \( -x+4\sqrt{2}=0 \implies x=4\sqrt{2} \).

3) حل المتراجحة \( A \le 0 \):
باستخدام الشكل المفكك \( (x-\sqrt{2})(x+3\sqrt{2}) \le 0 \).
جذرا العبارة هما \( \sqrt{2} \) و \( -3\sqrt{2} \). بما أن معامل \(x^2\) موجب، فإن العبارة تكون سالبة (أو صفر) بين الجذرين.
إذن، مجموعة الحلول هي \( x \in [-3\sqrt{2}, \sqrt{2}] \).

التمرين الرابع (5 نقاط)

نعتبر العبارة \( E = x^2 - \frac{32}{5}x + 16 \) حيث x عدد حقيقي.

  1. احسب القيمة العددية للعبارة E إذا كان \( x=5 \).
  2. بيّن أن: \( E = (x-\frac{16}{5})^2 + (\frac{12}{5})^2 \).
  3. (وحدة قيس الطول هي الصنتيمتر)
    في الرسم المقابل لدينا:
    • ABC مثلث قائم في A حيث AB=4 و AC=3.
    • M نقطة من [BC] و BM = a حيث a عدد حقيقي ينتمي للمجال.
    • H المسقط العمودي لـ M على (AB) و K المسقط العمودي لـ M على (AC).
    أ) بيّن أن BC=5.
    ب) بيّن أن \( \frac{BM}{BC} = \frac{HM}{AC} \) واستنتج أن \( HM = \frac{3}{5}a \).
  4. أ) بيّن أن \( KM = \frac{4}{5}(5-a) \).
    ب) بيّن/استنتج أن \( HK^2 = a^2 - \frac{32}{5}a + 16 \).
    ج) أوجد العدد a حيث \( AM = \frac{12}{5} \).

تصحيح مفصل

1) حساب E:
إذا كان \(x=5\): \( E = 5^2 - \frac{32}{5}(5) + 16 = 25 - 32 + 16 = 9 \).

2) إثبات الشكل النموذجي:
ننشر الطرف الأيمن: \( (x-\frac{16}{5})^2 + (\frac{12}{5})^2 = (x^2 - 2 \frac{16}{5}x + \frac{256}{25}) + \frac{144}{25} \)
\( = x^2 - \frac{32}{5}x + \frac{400}{25} = x^2 - \frac{32}{5}x + 16 \). وهو يساوي E.

3) أ) حساب BC:
في المثلث ABC القائم في A، نطبق فيثاغورس: \( BC^2 = AB^2 + AC^2 = 4^2+3^2 = 16+9=25 \). إذن \( BC = \sqrt{25}=5 \).

3) ب) إثبات نسبة HM:
في المثلث ABC، لدينا M على (BC) و H على (AB) و (HM) يوازي (AC) (لأنهما عموديان على نفس المستقيم (AB)).
بتطبيق مبرهنة طالس: \( \frac{BM}{BC} = \frac{BH}{BA} = \frac{HM}{AC} \).
من \( \frac{BM}{BC} = \frac{HM}{AC} \)، نعوض بالقيم: \( \frac{a}{5} = \frac{HM}{3} \implies HM = \frac{3a}{5} \).

4) أ) إثبات نسبة KM:
بنفس الطريقة، (MK) يوازي (AB). نطبق طالس: \( \frac{CM}{CB} = \frac{CK}{CA} = \frac{MK}{AB} \).
لدينا \( CM = CB - BM = 5 - a \).
\( \frac{5-a}{5} = \frac{MK}{4} \implies MK = \frac{4(5-a)}{5} \).

4) ب) إثبات \( HK^2 \):
الرباعي AHMK هو مستطيل لأن له 3 زوايا قائمة. إذن قطره HK يساوي قطره الآخر AM.
\( HK^2 = AM^2 \). في المثلث ABM، باستخدام مبرهنة الكاشي (أو بإسقاط M على AB):
\( AM^2 = AB^2+BM^2 - 2(AB)(BM)\cos(\hat{B}) \).
\( \cos(\hat{B}) = \frac{AB}{BC} = \frac{4}{5} \).
\( AM^2 = 4^2+a^2-2(4)(a)(\frac{4}{5}) = 16+a^2-\frac{32a}{5} \).
إذن \( HK^2 = a^2 - \frac{32}{5}a + 16 \).

4) ج) إيجاد a:
نريد أن يكون \( AM = \frac{12}{5} \). إذن \( AM^2 = (\frac{12}{5})^2 = \frac{144}{25} \).
\( a^2 - \frac{32}{5}a + 16 = \frac{144}{25} \).
هذه المعادلة هي نفسها \( E = (\frac{12}{5})^2 \).
\( (a-\frac{16}{5})^2 + (\frac{12}{5})^2 = (\frac{12}{5})^2 \).
\( (a-\frac{16}{5})^2 = 0 \implies a-\frac{16}{5}=0 \implies a = \frac{16}{5} \).