التمرين الثالث

تصحيح مفصل للجزء الأول (الجبر)

1. حساب قيمة A

الخطوة 1: نعوض x بقيمتها \( \sqrt{2}-1 \) في العبارة A.
\( A = 5(\sqrt{2}-1)^2 - 16(\sqrt{2}-1) - 84 \)
الخطوة 2: نحسب \( (\sqrt{2}-1)^2 \). هذه متطابقة هامة \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).
\( (\sqrt{2}-1)^2 = (\sqrt{2})^2 - 2(\sqrt{2})(1) + 1^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2} \).
الخطوة 3: نعوض هذه القيمة في العبارة A ونقوم بالنشر.
\( A = 5(3 - 2\sqrt{2}) - 16(\sqrt{2}-1) - 84 \)
\( A = (5 \times 3 - 5 \times 2\sqrt{2}) - (16 \times \sqrt{2} - 16 \times 1) - 84 \)
\( A = (15 - 10\sqrt{2}) - (16\sqrt{2} - 16) - 84 \)
الخطوة 4: نزيل الأقواس ونجمع الحدود المتشابهة.
\( A = 15 - 10\sqrt{2} - 16\sqrt{2} + 16 - 84 \)
\( A = (15+16-84) + (-10\sqrt{2} - 16\sqrt{2}) \)
\( A = (31-84) + (-10-16)\sqrt{2} \)
\( A = -53 - 26\sqrt{2} \).

2. أ) الشكل النموذجي للعبارة A

الخطوة 1: ننطلق من الطرف الأيمن ونبسطه.
\( 5\left[ (x-\frac{8}{5})^2 - \frac{484}{25} \right] \)
الخطوة 2: ننشر القوس \( (x-\frac{8}{5})^2 \).
\( (x-\frac{8}{5})^2 = x^2 - 2(x)(\frac{8}{5}) + (\frac{8}{5})^2 = x^2 - \frac{16}{5}x + \frac{64}{25} \).
الخطوة 3: نعوض داخل المعقوفة.
\( 5\left[ (x^2 - \frac{16}{5}x + \frac{64}{25}) - \frac{484}{25} \right] \)
\( = 5\left[ x^2 - \frac{16}{5}x + (\frac{64-484}{25}) \right] = 5\left[ x^2 - \frac{16}{5}x - \frac{420}{25} \right] \)
الخطوة 4: نضرب في 5.
\( = 5x^2 - 5(\frac{16}{5}x) - 5(\frac{420}{25}) = 5x^2 - 16x - \frac{420}{5} = 5x^2 - 16x - 84 \).
وهذه هي العبارة A.

2. ب) تفكيك العبارة A

الخطوة 1: نستخدم الشكل النموذجي الذي أثبتناه في السؤال السابق ونلاحظ أنه فرق مربعين.
\( A = 5\left[ (x-\frac{8}{5})^2 - \frac{484}{25} \right] \)
نلاحظ أن \( \frac{484}{25} = (\frac{22}{5})^2 \).
\( A = 5\left[ (x-\frac{8}{5})^2 - (\frac{22}{5})^2 \right] \)
الخطوة 2: نطبق المتطابقة الهامة \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \).
\( A = 5 \left[ (x-\frac{8}{5} - \frac{22}{5}) (x-\frac{8}{5} + \frac{22}{5}) \right] \)
الخطوة 3: نبسط ما بداخل الأقواس.
\( A = 5 \left[ (x-\frac{30}{5}) (x+\frac{14}{5}) \right] = 5 [ (x-6) (x+\frac{14}{5}) ] \)
الخطوة 4: نضرب العدد 5 في القوس الثاني للتخلص من المقام.
\( A = (x-6) \times 5(x+\frac{14}{5}) = (x-6)(5x+14) \). وهو المطلوب.

2. ج) حل المعادلة A = 0

الخطوة 1: نستخدم الشكل المفكك للعبارة A لأنه يجعل الحل سهلاً.
\( (5x+14)(x-6) = 0 \)
الخطوة 2: نستخدم خاصية "الجذاء الصفري": إذا كان حاصل ضرب عددين يساوي صفر، فإن أحد العددين (أو كلاهما) يجب أن يكون صفراً.
إما \( 5x+14 = 0 \) أو \( x-6 = 0 \).
الخطوة 3: نحل كل معادلة على حدة.
- المعادلة الأولى: \( 5x+14 = 0 \implies 5x = -14 \implies x = -\frac{14}{5} \).
- المعادلة الثانية: \( x-6 = 0 \implies x=6 \).
إذن، حلول المعادلة هي \( \{ -\frac{14}{5} , 6 \} \).

تصحيح مفصل للجزء الثاني (الهندسة)

الخطوة 1: ربط الجزء الهندسي بالجزء الجبري
لابد أن هناك علاقة في الشكل يمكن التعبير عنها بالمعادلة \( 5x^2 - 16x - 84 = 0 \). بما أن x يمثل طولاً (\(AN=x\))، يجب أن يكون x عدداً موجباً.

الخطوة 2: إيجاد قيمة x
من حل المعادلة \(A=0\) في الجزء الأول، وجدنا حلين: \(x=6\) و \(x = -\frac{14}{5}\).
بما أن x يمثل طولاً، فإنه لا يمكن أن يكون سالباً. لذلك، نرفض الحل السالب ونحتفظ بالحل الموجب فقط.
إذن، \( x = 6 \). وهذا يعني أن الطول \(AN = 6\) صم.

الخطوة 3: إيجاد طول ضلع المربع ABCD
هنا تكمن المشكلة في نص التمرين الأصلي، حيث لا توجد معلومات كافية وواضحة لربط الطول \(AN=6\) بطول ضلع المربع `L`.
- إذا افترضنا (وهو الافتراض الأكثر شيوعاً في هذه المسائل) أن النقطة N هي منتصف الضلع AD، فإن \(AN\) سيكون نصف طول الضلع.
في هذه الحالة: \( AN = \frac{L}{2} \).
\( 6 = \frac{L}{2} \implies L = 12 \) صم.
- ولكن، هذا الحل يتعارض مع المعطى الآخر أن الدائرة التي مركزها O ونصف قطرها 10 تحيط بالمربع، لأن مربعاً طول ضلعه 12 يتطلب دائرة محيطة به نصف قطرها \( R = \frac{L\sqrt{2}}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \approx 8.48 \)، وليس 10.

الخلاصة:
بسبب التناقضات في معطيات التمرين، لا يمكن الوصول إلى إجابة واحدة صحيحة.