تمرين عدد 4

I. نعتبر العبارة $ F = 3x^2 - 2\sqrt{2}x - 2 $ حيث x عدد حقيقي.

أ) أحسب القيمة العددية للعبارة F إذا كان $ x = -\frac{\sqrt{2}}{3} $.
ب) بيّن أنّ $ F = 4x^2 - (x+\sqrt{2})^2 $.
ج) استنتج حلول المعادلة $ 3x^2 - 2\sqrt{2}x - 2 = 0 $ في $ \mathbb{R} $.

II. يمثل الشكل المصاحب شبه منحرف ABCD قائم في A و D.
و I و J منتصفي [AD] و [BC] حيث $ DC=x+1 $ و $ AB=x-1 $.
و $ BC=2\sqrt{2} $ و $ AD = 3x\sqrt{2} - 4 $.

بيّن أن $ S_{ABCD} = 3\sqrt{2}x^2 - 4x $.
أوجد x علما وأن $ S_{ABCD} = 2\sqrt{2} $.
أحسب في هذه الحالة IJ واستنتج أن $ \angle BIC = 90^\circ $.

تصحيح مفصل للتمرين

تصحيح الجزء الأول (I)

أ) حساب قيمة F:
نعوض $ x = -\frac{\sqrt{2}}{3} $ في العبارة F: $$ F = 3\left(-\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2 - 2\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{3}\right) - 2 $$ $$ F = 3\left(\frac{2}{9}\right) - 2\left(-\frac{2}{3}\right) - 2 = \frac{6}{9} + \frac{4}{3} - 2 = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} - 2 = \frac{6}{3} - 2 = 2 - 2 = 0 $$
ب) إثبات العبارة المكافئة:
ننشر الطرف الأيمن: $$ 4x^2 - (x+\sqrt{2})^2 = 4x^2 - (x^2 + 2x\sqrt{2} + 2) = 4x^2 - x^2 - 2\sqrt{2}x - 2 $$ $$ = 3x^2 - 2\sqrt{2}x - 2 $$ وهذا يساوي العبارة F.
ج) استنتاج حلول المعادلة:
المعادلة $ 3x^2 - 2\sqrt{2}x - 2 = 0 $ تكافئ $ F = 0 $.
باستخدام الصيغة من السؤال (ب): $ 4x^2 - (x+\sqrt{2})^2 = 0 $.
هذه على صيغة فرق مربعين $ A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) $: $$ (2x)^2 - (x+\sqrt{2})^2 = 0 \implies [2x - (x+\sqrt{2})][2x + (x+\sqrt{2})] = 0 $$ $$ (x - \sqrt{2})(3x + \sqrt{2}) = 0 $$ إذن، إما $ x - \sqrt{2} = 0 \implies x = \sqrt{2} $.
أو $ 3x + \sqrt{2} = 0 \implies 3x = -\sqrt{2} \implies x = -\frac{\sqrt{2}}{3} $.
مجموعة الحلول هي $ S_{\mathbb{R}} = \left\{ \sqrt{2}, -\frac{\sqrt{2}}{3} \right\} $.

تصحيح الجزء الثاني (II)

حساب مساحة شبه المنحرف:
مساحة شبه المنحرف هي $ S = \frac{(\text{القاعدة الكبرى} + \text{القاعدة الصغرى}) \times \text{الارتفاع}}{2} $. $$ S_{ABCD} = \frac{(DC + AB) \times AD}{2} = \frac{((x+1)+(x-1)) \times (3x\sqrt{2}-4)}{2} $$ $$ = \frac{(2x)(3x\sqrt{2}-4)}{2} = x(3x\sqrt{2}-4) = 3\sqrt{2}x^2 - 4x $$
إيجاد قيمة x:
نعوض المساحة بقيمتها: $ 3\sqrt{2}x^2 - 4x = 2\sqrt{2} $.
نرتب المعادلة: $ 3\sqrt{2}x^2 - 4x - 2\sqrt{2} = 0 $.
نحسب المميز $ \Delta = (-4)^2 - 4(3\sqrt{2})(-2\sqrt{2}) = 16 - 4(-12) = 16 + 48 = 64 $.
الحلول هي: $ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2(3\sqrt{2})} = \frac{4 \pm 8}{6\sqrt{2}} $.
الحل الأول: $ x_1 = \frac{12}{6\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} $.
الحل الثاني: $ x_2 = \frac{-4}{6\sqrt{2}} = -\frac{2}{3\sqrt{2}} $.
بما أن الأبعاد مثل $ AB=x-1 $ يجب أن تكون موجبة، فإن $x>1$. الحل الثاني مرفوض.
إذن الحل الوحيد المقبول هو $ x = \sqrt{2} $.
حساب IJ واستنتاج الزاوية:
- **حساب IJ:** القطعة [IJ] هي القطعة الواصلة بين منتصفي الساقين في شبه المنحرف، إذن طولها هو نصف مجموع القاعدتين. $$ IJ = \frac{AB+DC}{2} = \frac{(x-1)+(x+1)}{2} = \frac{2x}{2} = x $$ بما أن $ x=\sqrt{2} $، فإن $ IJ = \sqrt{2} $.
- **استنتاج $ \angle BIC = 90^\circ $:**
عندما $ x=\sqrt{2} $، فإن الارتفاع $ AD = 3(\sqrt{2})\sqrt{2} - 4 = 6-4=2 $.
نضع الشكل في معين متعامد ممنظم حيث D هي المبدأ (0,0).
إحداثيات النقط هي: D(0,0)، A(0,2)، C($x+1$,0) أي C($\sqrt{2}+1$, 0)، و B($x-1$,2) أي B($\sqrt{2}-1$, 2).
I هي منتصف [AD] إذن I(0,1).
لنحسب ميل المستقيمين (BI) و (CI):
ميل (BI): $ m_1 = \frac{y_B - y_I}{x_B - x_I} = \frac{2-1}{(\sqrt{2}-1)-0} = \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \sqrt{2}+1 $.
ميل (CI): $ m_2 = \frac{y_C - y_I}{x_C - x_I} = \frac{0-1}{(\sqrt{2}+1)-0} = \frac{-1}{\sqrt{2}+1} = -(\sqrt{2}-1) = 1-\sqrt{2} $.
نحسب جداء الميلين: $ m_1 \times m_2 = (\sqrt{2}+1)(1-\sqrt{2}) = -(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = -(2-1) = -1 $.
بما أن جداء ميلي المستقيمين يساوي -1، فإنهما متعامدان. إذن $ \angle BIC = 90^\circ $.