عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيأسئلة متعدّدة الاختيارات 4
QCM 4 أسئلة متعدّدة الاختيارات (مصادر مختلطة)

📐 نص التمرين

لكلّ سؤال عدّة اقتراحات ، واحد فقط صحيح.

1) 2) \((\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 = 5\)

  • صواب
  • خطأ

2) 3) العبارة \(4x^2-4\sqrt{2}x+2\) تساوي:

  • \((2x-\sqrt{2})^2\)
  • \((\sqrt{2}x-\sqrt{2})^2\) (تساوي \(2x^2-4x+2\)) / للصواب: \((2x-\sqrt{2})^2 = 4x^2-4\sqrt{2}x+2\)

3) 8) العبارة \((\sqrt{3})^2-2^2\) تساوي:

  • \(-1\)
  • \(\sqrt{3}-4\)
  • \((3-2\sqrt{2})^2\)

4) 1) العبارة \((a+b)^2\) تساوي:

  • \(a^2+ab+b^2\)
  • \(a^2+b^2\)
  • \(a^2+2ab+b^2\)

5) (6) مهما يكن الرقم الفردي \(a\) فإنّ العدد \(\overline{5a0a7a6}\) يقبل القسمة على :

  • أ) \(8\)
  • ب) \(9\)
  • ج) \(12\)

6) (7) \((O,I,J)\) معيّن متعامد في المستوي و \(A(3a-1\,;\,2b+3)\) و \(B(a\,;\,b)\) نقطتان من المستوي حيث \(a\) و \(b\) عددان حقيقيان. تكون \(A\) و \(B\) متناظرتين بالنسبة إلى \((OI)\) إذا كان :

  • أ) \(a=\dfrac{1}{4}\) و \(b=-3\)
  • ب) \(a=\dfrac{1}{2}\) و \(b=-1\)
  • ج) \(a=\dfrac{1}{4}\) و \(b=-1\)

7) (10) إذا كان \(x\) عددا حقيقيّا حيث \(\sqrt{12}<x<\sqrt{27}\) فإنّ \(\left(\sqrt{x^{2}-2\sqrt{12}\,x+12}+\sqrt{x^{2}-2\sqrt{27}\,x+27}\right)\) يساوي :

  • أ) \(\sqrt{3}\)
  • ب) \(2x+\sqrt{3}\)
  • ج) \(\sqrt{3}\,x\)

8) 3) العبارة \(x(x-2)+1\) تساوي:

  • \((x+1)^2\)
  • \((x-1)(x+1)\)
  • \((x-1)^2\)

9) 4) إذا كان \(P=x^2-2\) و \(x=-\sqrt{2}\) فإن:

  • \(P=-4\)
  • \(P=0\)
  • \(P=4\)

10) 2) الرقم الذي رتبته \(6897576\) بعد الفاصل في الكتابة \(98{,}7\overline{634892105}\) هو :

  • أ) 1
  • ب) 0
  • ج) 5
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • اقرأ كلّ الاقتراحات قبل الاختيار : غالبا ما يكون الخطأ في الإشارة أو في نسيان الحدّ الأوسط.
  • لا تخمّن : تحقّق باستبعاد الاقتراحات المستحيلة (مربّع سالب ، طول سالب…).

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : حوّل كلّ اقتراح إلى شكل قابل للمقارنة (انشر أو فكّك).

الخطوة 2 : استبعد المستحيل قبل الحساب.

الخطوة 3 : تحقّق من الاقتراح المختار بالتعويض.

✅ الحل النهائي

1) الجواب : خطأ

التفسير والتعليل:
\((\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6} \neq 5\).

2) الجواب : \((\sqrt{2}x-\sqrt{2})^2\) (تساوي \(2x^2-4x+2\)) / للصواب: \((2x-\sqrt{2})^2 = 4x^2-4\sqrt{2}x+2\)

التفسير والتعليل:
\((2x-\sqrt{2})^2 = (2x)^2 - 2(2x)(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 4x^2 - 4\sqrt{2}x + 2\).

3) الجواب : \(-1\)

التفسير والتعليل:
\((\sqrt{3})^2=3\) و \(2^2=4\)
\((\sqrt{3})^2-2^2=3-4=-1\)
الخيار \(\sqrt{3}-4\) ناتج عن الخلط بين \((\sqrt{3})^2\) و \(\sqrt{3}\).
✔ الإجابة الصحيحة هي \(-1\) .

4) الجواب : \(a^2+2ab+b^2\)

التفسير والتعليل:
\((a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2\)
الخياران الآخران خاطئان : الأوّل ينسى مضاعفة الجداء و الثاني يهمله كلّيّا.
✔ الإجابة الصحيحة هي \(a^2+2ab+b^2\) .

5) الجواب : ج) \(12\)

مجموع الأرقام : \(5+a+0+a+7+a+6=18+3a=3(6+a)\) ، إذن العدد يقبل القسمة على \(3\) مهما يكن \(a\).
العدد المكوّن من الرقمين الأخيرين هو \(\overline{a6}=10a+6\) ، و بما أنّ \(a\) فردي فإنّ \(10a+6=2(5a+3)\) و \(5a+3\) زوجي ، إذن \(\overline{a6}\) يقبل القسمة على \(4\).
العدد يقبل القسمة على \(3\) و على \(4\) و هما أوّليان فيما بينهما ، إذن يقبل القسمة على \(12\).
✗ أ) \(8\) : العدد المكوّن من الأرقام الثلاثة الأخيرة هو \(\overline{7a6}=706+10a\) ، و هو لا يقبل القسمة على \(8\) إلاّ إذا كان \(a=3\) أو \(a=7\) (مثلا \(a=1\) يعطي \(716\) و \(716\) لا يقبل القسمة على \(8\)).
✗ ب) \(9\) : \(18+3a\) يقبل القسمة على \(9\) فقط إذا كان \(a\) مضاعفا لـ \(3\) ، أي \(a=3\) أو \(a=9\).
الجواب الصحيح : ج)

6) الجواب : ب) \(a=\dfrac{1}{2}\) و \(b=-1\)

التناظر بالنسبة إلى المحور \((OI)\) يحفظ الفاصلة و يعاكس الترتيبة.
تساوي الفاصلتين : \(3a-1=a\) ومنه \(2a=1\) أي \(a=\dfrac{1}{2}\).
تعاكس الترتيبتين : \(2b+3=-b\) ومنه \(3b=-3\) أي \(b=-1\).
الجواب الصحيح : ب)

7) الجواب : أ) \(\sqrt{3}\)

\(x^{2}-2\sqrt{12}\,x+12=(x-\sqrt{12})^{2}\) ومنه \(\sqrt{x^{2}-2\sqrt{12}\,x+12}=|x-2\sqrt{3}|\).
\(x^{2}-2\sqrt{27}\,x+27=(x-\sqrt{27})^{2}\) ومنه \(\sqrt{x^{2}-2\sqrt{27}\,x+27}=|x-3\sqrt{3}|\).
بما أنّ \(x>\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) فإنّ \(|x-2\sqrt{3}|=x-2\sqrt{3}\).
و بما أنّ \(x<\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) فإنّ \(|x-3\sqrt{3}|=3\sqrt{3}-x\).
المجموع \(=(x-2\sqrt{3})+(3\sqrt{3}-x)=\sqrt{3}\).
الجواب الصحيح : أ)

8) الجواب : \((x-1)^2\)

التفسير والتعليل:
\(x(x-2)+1 = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2\)

9) الجواب : \(P=0\)

التفسير والتعليل:
\(P = (-\sqrt{2})^2 - 2 = 2 - 2 = 0\)

10) الجواب : —

الطريقة : الرقم الأوّل بعد الفاصل هو \(7\) و ليس من الدورة. الأرقام ابتداء من الرتبة \(2\) تتكرّر دوريّا بدورة طولها \(9\) هي \(634892105\).
لإيجاد الرقم ذي الرتبة \(n\ge 2\) نحسب باقي القسمة الإقليدية لـ \((n-2)\) على \(9\) ، ثمّ نأخذ الرقم الموافق في الدورة.
هنا \(n=6897576\) ومنه \(n-2=6897574\) ، و مجموع أرقامه \(46\) إذن \(6897574\equiv 1 \pmod 9\).
الباقي \(1\) يوافق الرقم الثاني من الدورة \(634892105\) ، أي الرقم \(3\).