عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيأسئلة متعدّدة الاختيارات 3
QCM 3 أسئلة متعدّدة الاختيارات (مصادر مختلطة)

📐 نص التمرين

لكلّ سؤال عدّة اقتراحات ، واحد فقط صحيح.

1) 3) \((-\sqrt{5}+\frac{1}{\sqrt{5}})^2 = \frac{16}{5}\)

  • صواب
  • خطأ

2) 9) إذا كان \((7+2\sqrt{3})^2 = 28\sqrt{3} + a\) فإن \(a\) يساوي:

  • \(61\)
  • \(12\)
  • \(49\)

3) 3) العبارة \(\frac{7}{3-\sqrt{2}}\) تساوي:

  • \(3-\sqrt{2}\)
  • \(3+\sqrt{2}\)
  • \(2\sqrt{2}+1\)

4) 4) الجذاء \((\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}+1)(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}-1)\) يساوي:

  • 8
  • \(2\sqrt{3}+2\sqrt{5}\)
  • \(\sqrt{30}-1\)

5) 1) العبارة \((2\sqrt{3}+\sqrt{2})(2\sqrt{3}-\sqrt{2})\) تساوي:

  • \([(2\sqrt{3})+(-\sqrt{2})]^2\)
  • \((\sqrt{2})^2-(2\sqrt{3})^2\)
  • \((2\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2\)

6) 9) \(999^2-1\) يساوي:

  • 998000
  • 99999
  • 996004

7) 7) إذا كان \(x=\frac{\sqrt{6}+2}{2}\) و \(y=\frac{\sqrt{6}-2}{2}\) فإن \(x \times y = \frac{1}{2}\).

  • صواب
  • خطأ

8) 6) إذا كان \(t=\sqrt{5}\) فإن العبارة \(c=25t^2-20t+4\) تساوي 1.

  • صواب
  • خطأ

9) 3) العبارة \((\sqrt{5}-1)^2\) تساوي:

  • \(4\)
  • \(6-2\sqrt{5}\)
  • \(6+2\sqrt{5}\)

10) 7) إذا كان \(a\) و \(b\) عددان حقيقيان حيث \(a+b=3\sqrt{2}\) و \(ab=4\) فإن \(a^2+b^2\) يساوي:

  • 10
  • 18
  • 6
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • اقرأ كلّ الاقتراحات قبل الاختيار : غالبا ما يكون الخطأ في الإشارة أو في نسيان الحدّ الأوسط.
  • لا تخمّن : تحقّق باستبعاد الاقتراحات المستحيلة (مربّع سالب ، طول سالب…).

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : حوّل كلّ اقتراح إلى شكل قابل للمقارنة (انشر أو فكّك).

الخطوة 2 : استبعد المستحيل قبل الحساب.

الخطوة 3 : تحقّق من الاقتراح المختار بالتعويض.

✅ الحل النهائي

1) الجواب : صواب

التفسير والتعليل:
\(-\sqrt{5}+\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{-5+1}{\sqrt{5}} = \frac{-4}{\sqrt{5}}\)
\((\frac{-4}{\sqrt{5}})^2 = \frac{16}{5}\). فالعبارة صواب.

2) الجواب : \(61\)

التفسير والتعليل:
\((7+2\sqrt{3})^2=7^2+2\times 7\times 2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2=49+28\sqrt{3}+12=61+28\sqrt{3}\)
بالمقارنة مع \(28\sqrt{3}+a\) نجد \(a=61\).
الخياران \(49\) و \(12\) هما الحدّان المكوّنان لـ \(61\) ، و أخذ أحدهما وحده خطأ.
✔ الإجابة الصحيحة هي \(61\) .

3) الجواب : \(3+\sqrt{2}\)

التفسير والتعليل:
ضرب المقام والبسط في المرافق \((3+\sqrt{2})\):
\(\frac{7(3+\sqrt{2})}{(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})} = \frac{7(3+\sqrt{2})}{3^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{7(3+\sqrt{2})}{9 - 2} = \frac{7(3+\sqrt{2})}{7} = 3+\sqrt{2}\)

4) الجواب : 8

التفسير والتعليل:
نعيد تجميع الحدود: \([(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)] \times [(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)]\)
\(= (3-1) \times (5-1) = 2 \times 4 = 8\).

5) الجواب : \((2\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2\)

التفسير والتعليل:
تطبيق القاعدة \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\) مع \(a=2\sqrt{3}\) و \(b=\sqrt{2}\).

6) الجواب : 998000

التفسير والتعليل:
\(999^2 - 1^2 = (999-1)(999+1) = 998 \times 1000 = 998000\)

7) الجواب : صواب

التفسير والتعليل:
\(x \cdot y = \frac{(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)}{4} = \frac{6-4}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). صواب.

8) الجواب : خطأ

التفسير والتعليل:
\(c = (5t-2)^2 = (5\sqrt{5}-2)^2 = 125 - 20\sqrt{5} + 4 = 129 - 20\sqrt{5} \neq 1\). خطأ.

9) الجواب : \(6-2\sqrt{5}\)

التفسير والتعليل:
\((\sqrt{5}-1)^2=(\sqrt{5})^2-2\times\sqrt{5}\times 1+1^2=5-2\sqrt{5}+1=6-2\sqrt{5}\)
الخيار \(6+2\sqrt{5}\) خاطئ لأنّ إشارة الحدّ الأوسط سالبة ، و الخيار \(4\) يهمل الحدّ الأوسط.
✔ الإجابة الصحيحة هي \(6-2\sqrt{5}\) .

10) الجواب : 10

التفسير والتعليل:
نعلم أن \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \implies a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab\)
\(a^2+b^2 = (3\sqrt{2})^2 - 2(4) = 18 - 8 = 10\)