عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 64
تمرين 64 \(A=4x^2+12x-7\)

📐 نص التمرين

\[A = 4x^2+12x-7\]

1) أحسب \(A\) إذا علمت أن \(x = \dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\)
2) أ) بيّن أن \(A = (2x+3)^2-16\)
ب) استنتج أن \(A = (2x+7)(2x-1)\)
3) \(ABCD\) مستطيل، \(\{E\} = (AB) \cap (DG)\)، \(EB = x+1\)، \(BC = AE\)، \(DC = 2x+3\)، \(x > 0\).
أ) بيّن أن \(BG = x+1\)
ب) جد \(x\) إذا علمت أن مساحة المثلث \(DCG = 8 \text{ cm}^2\)
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • 1) عوّض في \((2x+3)^2-16\) أسهل من العبارة المباشرة.
  • 2-أ) انشر \((2x+3)^2-16\) وتحقّق من مساواتها لـ \(A\).
  • 2-ب) \((2x+3)^2-16 = (2x+3)^2-4^2\) — فرق مربعين.
  • 3-أ) \(ABCD\) مستطيل → \(AD = BC\). ابحث عن التشابه بين المثلثين \(AED\) و\(BEG\) لإيجاد \(BG\).

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : احسب أوّلاً \(2x+3\) بالتعويض المباشر، ثمّ استعمل الصيغة \((2x+3)^2-16\) (بعد إثباتها) بدل العبارة الأصلية.

الخطوة 2 : انشر \((2x+3)^2-16\) بالكامل وتحقّق أنّك تصل بالضبط إلى \(A\).

الخطوة 3 : اكتب \(16=4^2\) وطبّق \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) على النتيجة السابقة.

الخطوة 4 : في المستطيل \(ABCD\)، استعمل \(AB=DC\) و\(AE=AB-EB\) لإيجاد \(BC\) بدلالة \(x\).

الخطوة 5 : لاحظ تشابه المثلثين \(AED\) و\(BEG\) (زوايا متبادلة عند تقاطع \((AB)\) و\((DG)\))، واستعمل نسبة التشابه \(\dfrac{BG}{AD}=\dfrac{BE}{AE}\) لإيجاد \(BG\).

الخطوة 6 : عبّر عن مساحة المثلث \(DCG\) بدلالة قاعدته \(DC\) وارتفاعه \(GC=BC+BG\)، ثمّ ساوِ بالقيمة المعطاة واستعمل تفكيك السؤال 2-ب) لحلّ المعادلة الناتجة.

✅ الحل النهائي

1) حساب \(A\) عند \(x = \dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\) :
\[2x+3 = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}-1}{2}+3 = (\sqrt{3}-1)+3 = \sqrt{3}+2\]
\[A = (2x+3)^2-16 = (\sqrt{3}+2)^2-16 = 3+4\sqrt{3}+4-16 = \boxed{-9+4\sqrt{3}}\]
أ) إثبات \(A = (2x+3)^2-16\) :
\[(2x+3)^2-16 = 4x^2+12x+9-16 = 4x^2+12x-7 = A \checkmark\]

ب) استنتاج \(A = (2x+7)(2x-1)\) :
\[A = (2x+3)^2-4^2 = \big[(2x+3)+4\big]\big[(2x+3)-4\big] = \boxed{(2x+7)(2x-1)}\]
أ) إثبات \(BG = x+1\) :
\(ABCD\) مستطيل → \(AB \parallel DC\) و\(AB \perp BC\).
\(BC = AE\) (معطى). بما أنّ \(AB = AE + EB\) و\(AB = DC = 2x+3\) :
\[AE = AB-EB = (2x+3)-(x+1) = x+2\]
إذًا \(BC = x+2\)، ومنه \(AD = BC = x+2\) (مستطيل).
المثلثان \(AED\) و\(BEG\) متشابهان (زوايا متبادلة عند تقاطع \((AB)\) و\((DG)\) في \(E\)) :
\[\dfrac{BG}{AD} = \dfrac{BE}{AE} = \dfrac{x+1}{x+2}\]
لكن \(AD = x+2\) :
\[BG = AD \times \dfrac{BE}{AE} = (x+2) \times \dfrac{x+1}{x+2} = \boxed{x+1}\]
ب) جد \(x\) إذا كانت مساحة المثلث \(DCG = 8 \text{ cm}^2\) :
المثلث \(DCG\) قائم في \(C\) : القاعدة \(DC = 2x+3\)، الارتفاع \(GC = BC+BG = (x+2)+(x+1) = 2x+3\)
\[\mathcal{A}_{DCG} = \dfrac{1}{2} \times DC \times GC = \dfrac{1}{2}(2x+3)(2x+3) = \dfrac{(2x+3)^2}{2}\]
نساوي بـ 8 :
\[\dfrac{(2x+3)^2}{2} = 8\]
\[(2x+3)^2 = 16\]
من 2) : \(A = (2x+3)^2-16 = 0\) → \((2x+7)(2x-1) = 0\)
\[2x+7 = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{7}{2} \quad \text{(مرفوض لأن } x > 0\text{)}\]
\[2x-1 = 0 \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{1}{2} \text{ cm}}\]