عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 63
تمرين 63 \(E=(x+1)^2-9,\ F=x^2+3x-4,\ G=8-2x-x^2\)

📐 نص التمرين

\[E = (x+1)^2-9 \qquad F = x^2+3x-4 \qquad G = 8-2x-x^2\]

1) أ) احسب \(E\) في حالة \(x = 2\sqrt{2}\)
ب) احسب \(F\) في حالة \(x = \sqrt{2}+1\)
2) أ) أنشر واختصر \(E\)
ب) استنتج أن \(E\) مقابل \(G\)
3) بيّن أن \(F = (x+4)(x-1)\)
4) فكّك \(E\) إلى جذاء عوامل
5) لتكن \(A = E+F\)
أ) بيّن باستعمال التفكيك أن \(A = (2x-3)(x+4)\)
ب) استنتج مجموعة حلول : \((x+1)^2-9 = -x^2-3x+4\)
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • 2-أ) انشر \((x+1)^2-9\) وقارن مع \(G = 8-2x-x^2\).
  • 4) \(E = x^2+2x-8\) بعد النشر — أكمل المربّع : \((x+1)^2-9\) هو فرق مربعين جاهز للتفكيك.
  • 5-أ) لاحظ أنّ \(E\) و\(F\) يتشاركان عاملاً مشتركاً بعد تفكيكهما.
  • 5-ب) اكتب المعادلة على شكل \(E = \ldots\) ثمّ استعمل تفكيك \(A\).

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته إمّا في العبارة الأصلية أو (أفضل) في صيغة مفكّكة/مبسّطة إن وُجدت.

الخطوة 2 : انشر \((x+1)^2-9\) بالكامل وبسّط لتحصل على كثير حدود من الدرجة الثانية.

الخطوة 3 : اجمع العبارة المبسّطة مع \(G\) وتحقّق أنّ المجموع يساوي صفر لاستنتاج « متقابلان ».

الخطوة 4 : لإثبات صيغة تفكيك \(F\)، انشر الطرف الأيمن المعطى وتحقّق من مطابقته لـ \(F\).

الخطوة 5 : لتفكيك \(E\)، استعمل مباشرة أنّها مكتوبة أصلًا على شكل فرق مربعين \((x+1)^2-3^2\).

الخطوة 6 : لإثبات \(A=E+F\) على شكل جذاء، استعمل التفكيكين السابقين لـ \(E\) و\(F\) وأخرج العامل المشترك بينهما.

الخطوة 7 : لحلّ المعادلة الأخيرة، أعد كتابة الطرف الأيمن بدلالة \(F\) (أو \(-F\))، فتتحوّل المعادلة إلى \(A=0\) أو ما شابه، ثمّ استعمل تفكيك \(A\).

✅ الحل النهائي

أ) حساب \(E\) عند \(x = 2\sqrt{2}\) :
\[E = (2\sqrt{2}+1)^2-9 = (8+4\sqrt{2}+1)-9 = 9+4\sqrt{2}-9 = \boxed{4\sqrt{2}}\]

ب) حساب \(F\) عند \(x = \sqrt{2}+1\) :
\[F = (\sqrt{2}+1)^2+3(\sqrt{2}+1)-4\]
\[= 2+2\sqrt{2}+1+3\sqrt{2}+3-4 = 2+5\sqrt{2}\]
\[\boxed{F = 2+5\sqrt{2}}\]
أ) نشر \(E\) :
\[E = (x+1)^2-9 = x^2+2x+1-9 = \boxed{x^2+2x-8}\]

ب) « \(E\) مقابل \(G\) » :
\[E+G = (x^2+2x-8)+(8-2x-x^2) = 0\]
بما أن \(E+G = 0\) → \(\boxed{E \text{ و } G \text{ متقابلان}}\)
3) إثبات \(F = (x+4)(x-1)\) :
\[(x+4)(x-1) = x^2-x+4x-4 = x^2+3x-4 = F \checkmark\]
4) تفكيك \(E\) :
\[E = (x+1)^2-3^2 = \big[(x+1)+3\big]\big[(x+1)-3\big] = \boxed{(x+4)(x-2)}\]
أ) إثبات \(A = (2x-3)(x+4)\) :
\[A = E+F = (x+4)(x-2)+(x+4)(x-1)\]
\[= (x+4)\big[(x-2)+(x-1)\big]\]
\[= (x+4)(2x-3)\]
\[\boxed{A = (x+4)(2x-3)} \checkmark\]

ب) مجموعة حلول \((x+1)^2-9 = -x^2-3x+4\) :
نُعيد كتابة الطرف الأيمن : \(-x^2-3x+4 = -(x^2+3x-4) = -F\)
إذًا المعادلة هي : \(E = -F\) أي \(E+F = 0\) أي \(A = 0\)
\[(x+4)(2x-3) = 0\]
\[x+4 = 0 \quad \text{أو} \quad 2x-3 = 0\]
\[\boxed{S = \left\{-4 \;;\; \dfrac{3}{2}\right\}}\]