عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 62
تمرين 62 \(A=(4-x)^2-9\)

📐 نص التمرين

I) \(A = (4-x)^2-9\)
1- فكّك \(A\) إلى جذاء عوامل
2- أوجد \(x\) حيث \(A = 0\)
3- بيّن أن \(A+5 = (6-x)(2-x)\)
II) مثلث \(OAB\) قائم في \(O\)، \(OA = 4\)، \(OB = 2\)، \(K\) منتصف \([AB]\)، \(M \in [OA]\) حيث \(OM = x\) (\(0 < x < 2\))، \(\Delta\) عمودي على \((OA)\) من \(M\) يقطع \((AB)\) في \(N\).
1- بيّن أن \(MN = \dfrac{4-x}{2}\)
2- \(P\) مسقط \(K\) على \((OA)\)، \(S\) مساحة شبه المنحرف \(MNKP\)
أ) بيّن أن \(KP = 1\)
ب) بيّن أن \(S = \dfrac{1}{4}(6-x)(2-x)\)
3- أوجد \(x\) حيث \(4S = 5\)
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • I-1) \(A = (4-x)^2-3^2\) — فرق مربعين.
  • II-1) \(\Delta \parallel OB\) لأنّ كليهما عمودي على \((OA)\) — استعمل التشابه في المثلث \(OAB\).
  • II-2-أ) \(K\) منتصف \([AB]\) و\(P\) مسقطه على \((OA)\) — استعمل نفس التشابه بنسبة \(\dfrac{1}{2}\).
  • II-3) \(4S = 5\) → \((6-x)(2-x) = 5\) → انشر وحلّ معادلة الدرجة الثانية.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : اكتب \(9=3^2\) وطبّق \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) على \(A=(4-x)^2-3^2\).

الخطوة 2 : استعمل التفكيك السابق وخاصيّة الجذاء الصفري لحلّ \(A=0\).

الخطوة 3 : احسب \(A+5\) بجمع 5 إلى الصيغة الأصلية، أعد كتابة \(-9+5=-4=-2^2\)، ثمّ فكّك من جديد بفرق المربعين.

الخطوة 4 : في المثلث \(OAB\) القائم في \(O\)، لاحظ أنّ \(\Delta \parallel OB\) (كلاهما عمودي على \(OA\))، فطبّق التشابه بين المثلثين الناتجين لإيجاد \(MN\) بدلالة \(x\).

الخطوة 5 : بنفس فكرة التشابه (مع \(K\) منتصف \([AB]\) بدل \(N\))، أوجد \(KP\) وتحقّق أنّها ثابتة (لا تعتمد على \(x\)).

الخطوة 6 : عبّر عن مساحة شبه المنحرف \(MNKP\) بدلالة القاعدتين \(MN\)، \(KP\) والارتفاع \(MP=OP-OM\)، وبسّط للوصول إلى الصيغة المطلوبة.

الخطوة 7 : لحلّ \(4S=5\)، عوّض بصيغة \(S\) المثبتة، وستلاحظ أنّ المعادلة الناتجة \((6-x)(2-x)=5\) ترتبط مباشرة بتفكيك السؤال I-3).

✅ الحل النهائي

I-1) تفكيك \(A\) :
\[A = (4-x)^2-3^2 = \big[(4-x)+3\big]\big[(4-x)-3\big] = \boxed{(7-x)(1-x)}\]
I-2) حل \(A = 0\) :
\[(7-x)(1-x) = 0\]
\[\boxed{x = 7 \quad \text{أو} \quad x = 1}\]
I-3) إثبات \(A+5 = (6-x)(2-x)\) :
\[A+5 = (4-x)^2-9+5 = (4-x)^2-4 = (4-x)^2-2^2\]
\[= \big[(4-x)+2\big]\big[(4-x)-2\big] = (6-x)(2-x) \checkmark\]
II-1) إثبات \(MN = \dfrac{4-x}{2}\) :
\(\Delta \perp (OA)\) في \(M\)، و\(OB \perp OA\) في \(O\) → \(\Delta \parallel (OB)\)
في المثلث \(OAB\)، المستقيم من \(M\) الموازي لـ \(OB\) يقطع \(AB\) في \(N\) :
\[\dfrac{MN}{OB} = \dfrac{AM}{AO} = \dfrac{AO-OM}{AO} = \dfrac{4-x}{4}\]
\[MN = OB \times \dfrac{4-x}{4} = 2 \times \dfrac{4-x}{4} = \boxed{\dfrac{4-x}{2}}\]
أ) إثبات \(KP = 1\) :
\(K\) منتصف \([AB]\)، \(P\) مسقطه على \((OA)\).
المستقيم من \(K\) الموازي لـ \(OB\) يقطع \(OA\) في \(P\) (نفس الاستدلال) :
\[\dfrac{KP}{OB} = \dfrac{AK}{AB} = \dfrac{1}{2}\]
\[KP = \dfrac{OB}{2} = \dfrac{2}{2} = \boxed{1}\]
وأيضاً : \(OP = \dfrac{OA}{2} = 2\)

ب) إثبات \(S = \dfrac{1}{4}(6-x)(2-x)\) :
\(MNKP\) شبه منحرف، قاعدتاه \([MN]\) و\([KP]\)، ارتفاعه \(MP\) :
\[MP = OP-OM = 2-x\]
\[S = \dfrac{1}{2}(MN+KP) \times MP = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{4-x}{2}+1\right)(2-x) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4-x+2}{2} \cdot (2-x)\]
\[= \dfrac{1}{4}(6-x)(2-x) \checkmark\]
II-3) حل \(4S = 5\) :
\[4 \times \dfrac{1}{4}(6-x)(2-x) = 5\]
\[(6-x)(2-x) = 5\]
\[12-6x-2x+x^2 = 5\]
\[x^2-8x+7 = 0\]
\[(x-1)(x-7) = 0\]
بما أن \(0 < x < 2\) : \(\boxed{x = 1}\)
(نرفض \(x = 7\) لأنه خارج المجال)