عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 61
تمرين 61 \(A=x^2+2x-80\)

📐 نص التمرين

I) \(A = x^2+2x-80\)
1- بيّن أن \(A = (x+1)^2-81\)
2- استنتج تفكيكاً للعبارة \(A\)
II) مثلث \(ABC\) قائم في \(A\)، \(AC = x\)، \(AB = x+2\)، \(x \in \mathbb{R}_+^*\).
1- أوجد \(x\) إذا كانت مساحة المثلث \(= 40 \text{ cm}^2\)
2- \(J\) نقطة من \([AB]\) حيث \(BJ = 2\) cm، \(\Delta\) عمودي على \((AB)\) من \(J\) يقطع \([BC]\) في \(I\).
أ) بيّن أن \(\dfrac{IB}{IC} = \dfrac{2}{x}\)
ب) أوجد \(x\) ليكون \(I\) منتصف \([BC]\)
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • I-1) \((x+1)^2-81 = x^2+2x+1-81 = x^2+2x-80\) ✓
  • I-2) \((x+1)^2-81 = (x+1)^2-9^2\) — فرق مربعين.
  • II-1) مساحة المثلث القائم \(= \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot AB\) لأن الزاوية قائمة في \(A\).
  • II-2-أ) المستقيم \(\Delta\) والمستقيم \((AC)\) كلاهما عمودي على \((AB)\)، إذًا هما متوازيان — استعمل التشابه في المثلث \(ABC\).

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : انشر \((x+1)^2-81\) وتحقّق من الوصول إلى \(A\) المعطاة.

الخطوة 2 : اكتب \(81 = 9^2\) وطبّق \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) على الصيغة المثبتة في السؤال 1.

الخطوة 3 : عبّر عن مساحة المثلث \(ABC\) القائم بدلالة \(x\)، ساوِها بالقيمة المعطاة، وستحصل على معادلة تكافئ \(A=0\) — استعمل التفكيك مباشرة، مع مراعاة الشرط \(x\in\mathbb{R}_+^*\).

الخطوة 4 : لاحظ أنّ \(\Delta \parallel (AC)\) (كلاهما عمودي على \((AB)\))، فالمثلثان \(BJI\) و\(BAC\) متشابهان — استعمل نسب التشابه لإيجاد \(\dfrac{IB}{BC}\)، ثمّ استنتج \(\dfrac{IC}{BC}=1-\dfrac{IB}{BC}\) لتحصل على النسبة المطلوبة.

الخطوة 5 : « \(I\) منتصف \([BC]\) » يعني \(IB=IC\)، أي \(\dfrac{IB}{IC}=1\) — عوّض في الصيغة السابقة واحلّ.

✅ الحل النهائي

I-1) إثبات \(A = (x+1)^2-81\) :
\[(x+1)^2-81 = x^2+2x+1-81 = x^2+2x-80 = A \checkmark\]
I-2) تفكيك \(A\) :
\[A = (x+1)^2-9^2 = \big[(x+1)+9\big]\big[(x+1)-9\big] = \boxed{(x+10)(x-8)}\]
II-1) حل المعادلة :
\[\mathcal{A}_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot AB = \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot (x+2) = 40\]
\[x(x+2) = 80\]
\[x^2+2x-80 = 0\]
وهذه هي المعادلة \(A = 0\) بالضبط، أي \((x+10)(x-8) = 0\)
بما أن \(x \in \mathbb{R}_+^*\) : \(\boxed{x = 8 \text{ cm}}\)
أ) إثبات \(\dfrac{IB}{IC} = \dfrac{2}{x}\) :
\(\Delta\) عمودي على \((AB)\) في \(J\)، و\(AC\) عمودي على \(AB\) في \(A\).
→ \(\Delta \parallel (AC)\)
المثلثان \(BJI\) و\(BAC\) متشابهان (زاوية مشتركة في \(B\)، ضلعان متناسبان) :
\[\dfrac{BJ}{BA} = \dfrac{BI}{BC} = \dfrac{2}{x+2}\]
→ \(BI = \dfrac{2 \cdot BC}{x+2}\)
→ \(IC = BC - BI = BC\left(1-\dfrac{2}{x+2}\right) = BC \cdot \dfrac{x}{x+2}\)
\[\dfrac{IB}{IC} = \dfrac{\dfrac{2 \cdot BC}{x+2}}{\dfrac{x \cdot BC}{x+2}} = \boxed{\dfrac{2}{x}} \checkmark\]

ب) حل « \(I\) منتصف \([BC]\) » :
\[I \text{ منتصف } [BC] \Leftrightarrow IB = IC \Leftrightarrow \dfrac{IB}{IC} = 1\]
\[\dfrac{2}{x} = 1 \Rightarrow \boxed{x = 2 \text{ cm}}\]