عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 60
تمرين 60 \(A=\dfrac{3}{2}x^2-\dfrac{15}{2}x+9\)

📐 نص التمرين

I) \(A = \dfrac{3}{2}x^2 - \dfrac{15}{2}x + 9\)
أ) احسب \(A\) إذا علمت أن \(x = 3\)
ب) بيّن بالنشر أن \(A = (3-x)^2 - \dfrac{1}{2}x(3-x)\)
ج) استنتج تفكيكاً إلى جذاء عوامل للعبارة \(A\)
II) \(ABCD\) مربع، \(EAD\) مثلث قائم في \(A\)، \(EA = x\)، \(EB = 3\)، \(0 < x < 3\).
أوجد \(x\) ليكون قيس مساحة المربع = قيس مساحة المثلث \(EAD\)
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • ب) انشر \((3-x)^2 - \dfrac{1}{2}x(3-x)\) وتحقّق من المساواة لـ \(A\).
  • ج) في التفكيك، أخرج العامل المشترك \((3-x)\).
  • II) في المثلث \(EAB\) : \(EA = x\)، \(EB = 3\)، والزاوية في \(A\) قائمة — استعمل فيثاغورس لإيجاد \(AB\)، ثمّ ساوِ بين المساحتين.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته مباشرة في العبارة \(A\) الأصلية أو المبسّطة، واحسب.

الخطوة 2 : انشر \((3-x)^2\) و\(\dfrac{1}{2}x(3-x)\) كلّ على حدة، ثمّ اجمع الحدود واجعلها تطابق \(A\) المعطاة.

الخطوة 3 : أخرج العامل المشترك \((3-x)\) من الصيغة المثبتة في ب)، ثمّ بسّط ما تبقّى داخل القوس.

الخطوة 4 : في المثلث \(EAB\) القائم في \(A\)، طبّق مبرهنة فيثاغورس لإيجاد \(AB^2\) بدلالة \(x\)، ثمّ استنتج مساحة المربّع \(ABCD\).

الخطوة 5 : عبّر عن مساحة المثلث \(EAD\) بدلالة \(x\) و\(AB\) (\(AD=AB\))، ثمّ ساوِ بين المساحتين واحلّ المعادلة الناتجة، مع التأكّد من الشرط \(0

✅ الحل النهائي

أ) حساب \(A\) عند \(x = 3\) :
\[A = \dfrac{3}{2}(9)-\dfrac{15}{2}(3)+9 = \dfrac{27}{2}-\dfrac{45}{2}+9 = \dfrac{27-45}{2}+9 = -9+9 = \boxed{0}\]
ب) إثبات \(A = (3-x)^2-\dfrac{1}{2}x(3-x)\) :
\[(3-x)^2-\dfrac{1}{2}x(3-x) = 9-6x+x^2-\dfrac{3x}{2}+\dfrac{x^2}{2}\]
\[= x^2+\dfrac{x^2}{2}-6x-\dfrac{3x}{2}+9 = \dfrac{3}{2}x^2-\dfrac{15}{2}x+9 = A \checkmark\]

ج) تفكيك \(A\) :
\[A = (3-x)\left[(3-x)-\dfrac{x}{2}\right] = (3-x)\left(3-x-\dfrac{x}{2}\right) = (3-x)\left(3-\dfrac{3x}{2}\right)\]
\[= (3-x) \cdot \dfrac{3}{2}(2-x)\]
\[\boxed{A = \dfrac{3}{2}(3-x)(2-x)}\]
II) المسألة الهندسية :
المثلث \(EAB\) قائم في \(A\) : \(EA = x\)، \(EB = 3\)
بمبرهنة فيثاغورس :
\[AB^2 = EB^2-EA^2 = 9-x^2\]
\(ABCD\) مربع → مساحته = \(AB^2 = 9-x^2\)
في المثلث \(EAD\) : قائم في \(A\)، \(EA = x\)، \(AD = AB = \sqrt{9-x^2}\)
\[\mathcal{A}_{EAD} = \dfrac{1}{2} \cdot EA \cdot AD = \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot \sqrt{9-x^2}\]
نساوي مساحة المربع بمساحة المثلث :
\[9-x^2 = \dfrac{1}{2}x\sqrt{9-x^2}\]
\[\sqrt{9-x^2}\left(\sqrt{9-x^2}-\dfrac{x}{2}\right) = 0\]
بما أن \(0 < x < 3\) → \(\sqrt{9-x^2} > 0\) → نقسم :
\[\sqrt{9-x^2} = \dfrac{x}{2}\]
\[9-x^2 = \dfrac{x^2}{4}\]
\[36-4x^2 = x^2\]
\[5x^2 = 36\]
\[x^2 = \dfrac{36}{5}\]
\[\boxed{x = \dfrac{6\sqrt{5}}{5}}\]