عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 58
تمرين 58 \(A=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-2x\)

📐 نص التمرين

\[A = \left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2 - 2x\]

1) أ) بيّن أن \(A = x^2-x+\dfrac{1}{4}\)
ب) أحسب \(A\) إذا علمت أن \(x = \sqrt{2}-\dfrac{1}{2}\)
ج) فكّك \(A\) إلى جذاء عوامل
د) أوجد \(x\) في حالة \(A = \dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x}{2}\)
2) لتكن \(B = 25x^2\)
أ) فكّك \(B-A\)
ب) أوجد \(x\) بحيث \(A^2 - A \times B = A \times B - B^2\)
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • 1-أ) انشر \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2\) ثمّ اطرح \(2x\).
  • 1-ج) \(A = x^2-x+\dfrac{1}{4} = \left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\) — مربّع كامل.
  • 2-أ) \(B-A = 25x^2-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\) — فرق مربعين.
  • 2-ب) \(A^2-AB = AB-B^2\) → \(A^2-2AB+B^2=0\) → \((A-B)^2=0\).

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : انشر \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2\) باستعمال \((a+b)^2\)، ثمّ اطرح \(2x\) واجمع الحدود المتشابهة.

الخطوة 2 : للتعويض العددي، استعمل الصيغة المبسّطة \(A=x^2-x+\dfrac{1}{4}\) أو أفضل الصيغة المفكّكة (بعد سؤال ج)).

الخطوة 3 : لاحظ أنّ \(A\) على شكل \(a^2-2ab+b^2\) وفكّكه كمربّع كامل \((a-b)^2\).

الخطوة 4 : لحلّ المعادلة \(A=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x}{2}\)، انقل كلّ الحدود إلى طرف واحد، بسّط، ثمّ اضرب في 4 لإزالة الكسور و اكتب النتيجة في شكلها القانوني : مربّع موجب مضافا إليه عدد موجب دائما مخالف للصفر.

الخطوة 5 : لتفكيك \(B-A\)، اكتب \(B=(5x)^2\) وتفكيك \(A\) من ج) ليصبح \(B-A\) فرق مربعين.

الخطوة 6 : لحلّ معادلة السؤال 2-ب)، انقل كلّ الحدود إلى طرف واحد وتعرّف على الشكل \((A-B)^2\)، ممّا يُختصر المعادلة إلى \(A=B\).

✅ الحل النهائي

أ) إثبات \(A = x^2-x+\dfrac{1}{4}\) :
\[A = \left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-2x = x^2+2 \cdot x \cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-2x = x^2+x+\dfrac{1}{4}-2x = \boxed{x^2-x+\dfrac{1}{4}}\]

ب) حساب \(A\) عند \(x = \sqrt{2}-\dfrac{1}{2}\) :
\[A = \left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2 = \left(\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\right)^2 = (\sqrt{2}-1)^2 = 2-2\sqrt{2}+1 = \boxed{3-2\sqrt{2}}\]

ج) تفكيك \(A\) :
\[A = x^2-x+\dfrac{1}{4} = \boxed{\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2}\]

د) حل \(A = \dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x}{2}\) :
ننشر الطرف الأيسر ونساوي بالأيمن :
\[x^2-x+\dfrac{1}{4} = \dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x}{2}\]
\[x^2-x+\dfrac{1}{4}-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x}{2} = 0\]
\[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{4} = 0\]
نضرب في 4 :
\[2x^2-2x+1 = 0\]
⛔ لا داعي لأدوات خارج برنامج التاسعة : نستعمل الشكل القانوني، و هو أداة الدرس نفسها.
\[2x^{2}-2x+1 = 2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{1}{2}\]
و بما أنّ \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2} \ge 0\) فإنّ \(2x^{2}-2x+1 \ge \dfrac{1}{2} > 0\) : لا حلّ في \(\mathbb{R}\) ← \(\boxed{S=\emptyset}\)
أ) تفكيك \(B-A\) :
\[B-A = 25x^2-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2 = (5x)^2-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\]
\[= \left[5x+\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\right]\left[5x-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\right]\]
\[= \left(6x-\dfrac{1}{2}\right)\left(4x+\dfrac{1}{2}\right)\]
\[\boxed{= \dfrac{1}{4}(12x-1)(8x+1)}\]

ب) حل \(A^2-AB = AB-B^2\) :
\[A^2-AB-AB+B^2 = 0\]
\[A^2-2AB+B^2 = 0\]
\[(A-B)^2 = 0 \Rightarrow A = B\]
\[\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2 = 25x^2\]
\[(5x)^2 - \left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2 = 0\]
\[\left(6x-\dfrac{1}{2}\right)\left(4x+\dfrac{1}{2}\right) = 0\]
\[x = \dfrac{1}{12} \quad \text{أو} \quad x = -\dfrac{1}{8}\]
\[\boxed{S = \left\{\dfrac{1}{12} \;;\; -\dfrac{1}{8}\right\}}\]