عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 57
تمرين 57 \(M=x^2+6x+5,\ N=x^2+(x+1)^2-1\)

📐 نص التمرين

\[M = x^2 + 6x + 5 \qquad N = x^2 + (x+1)^2 - 1\]

1) أحسب \(M\) في حالة \(x = \sqrt{3} - 1\)
2) أ) بيّن أن \(M = (x+3)^2 - 4\) ثم استنتج تفكيكاً لـ \(M\)
3) فكّك \((x+1)^2 - 1\) ثم استنتج تفكيكاً لـ \(N\)
4) أوجد \(x\) في حالة \(N = M\)
5) شبه منحرف \(ABCD\) قائم في \(A\) و \(D\) حيث \(AB = x+5\)، \(AD = x+1\)، \(CD = 2x\)، \(x > 1\). أوجد \(x\) إذا كان للمثلثين \(ABD\) و \(ACD\) نفس المساحة.
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • 2-أ) أكمل المربّع : \(x^2+6x+5 = (x+3)^2 - 9 + 5\).
  • 2-ب) \((x+3)^2 - 4 = (x+3)^2 - 2^2\) — فرق مربعين.
  • 3) \((x+1)^2 - 1 = (x+1)^2 - 1^2\) — فرق مربعين، ثمّ عبّر عن \(N\) بدلالة هذا التفكيك.
  • 5) مساحة المثلث \(= \dfrac{1}{2} \times \text{قاعدة} \times \text{ارتفاع}\)، والقاعدة المشتركة للمثلثين هي \([AD]\).

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته إمّا في \(M\) مباشرة أو (أفضل) في الصيغة المكمّلة للمربّع \((x+3)^2-4\) بعد إثباتها.

الخطوة 2 : أكمل المربّع في \(M=x^2+6x+5\) بإضافة وطرح \(9\) (نصف معامل \(x\) مربّعًا)، وتحقّق من الوصول إلى \((x+3)^2-4\).

الخطوة 3 : اكتب \((x+3)^2-4\) على شكل فرق مربعين وفكّكها.

الخطوة 4 : فكّك \((x+1)^2-1\) بنفس الطريقة (فرق مربعين)، ثمّ عوّض هذا التفكيك في \(N=x^2+(x+1)^2-1\) وبسّط للحصول على تفكيك جديد لـ \(N\).

الخطوة 5 : لحلّ \(N=M\)، استعمل التفكيكين اللذين أوجدتهما لإخراج عامل مشترك بين \(N\) و\(M\)، ثمّ استعمل خاصيّة الجذاء الصفري.

الخطوة 6 : لسؤال المساحتين، عبّر عن مساحة كلّ مثلث بدلالة \(x\) باستعمال القاعدة المشتركة \(AD\) والارتفاعين \(AB\) و\(CD\)، ثمّ ساوِ بين المساحتين وحلّ المعادلة الناتجة.

✅ الحل النهائي

1) حساب \(M\) عند \(x = \sqrt{3}-1\) :
\[M = (\sqrt{3}-1)^2 + 6(\sqrt{3}-1) + 5 = 3-2\sqrt{3}+1+6\sqrt{3}-6+5 = 3 + 4\sqrt{3}\]
أو باستعمال \(M = (x+3)^2-4\) :
\[x+3 = \sqrt{3}+2 \Rightarrow M = (\sqrt{3}+2)^2-4 = 3+4\sqrt{3}+4-4 = \boxed{3+4\sqrt{3}}\]
أ) إثبات \(M = (x+3)^2-4\) :
\[(x+3)^2-4 = x^2+6x+9-4 = x^2+6x+5 = M \checkmark\]

ب) تفكيك \(M\) :
\[M = (x+3)^2-2^2 = \boxed{(x+5)(x+1)}\]
3) تفكيك \((x+1)^2-1\) واستنتاج تفكيك \(N\) :
\[(x+1)^2-1^2 = \big[(x+1)+1\big]\big[(x+1)-1\big] = (x+2)(x)\]
\[N = x^2 + (x+1)^2-1 = x^2 + x(x+2) = x^2+x^2+2x = 2x^2+2x\]
\[\boxed{N = 2x(x+1)}\]
4) حل \(N = M\) :
\[2x(x+1) = (x+5)(x+1)\]
\[2x(x+1)-(x+5)(x+1) = 0\]
\[(x+1)\big[2x-(x+5)\big] = 0\]
\[(x+1)(x-5) = 0\]
\[\boxed{x = -1 \quad \text{أو} \quad x = 5}\]
5) مسألة شبه المنحرف :
شبه المنحرف \(ABCD\) قائم في \(A\) و\(D\) → \(AD \perp AB\) و\(AD \perp CD\)
مساحة المثلث \(ABD\) (القاعدة \(AB\)، الارتفاع \(AD\)) :
\[\mathcal{A}_{ABD} = \dfrac{1}{2} \times AB \times AD = \dfrac{1}{2}(x+5)(x+1)\]
مساحة المثلث \(ACD\) (القاعدة \(CD\)، الارتفاع \(AD\)) :
\[\mathcal{A}_{ACD} = \dfrac{1}{2} \times CD \times AD = \dfrac{1}{2}(2x)(x+1)\]
نساوي :
\[\dfrac{1}{2}(x+5)(x+1) = \dfrac{1}{2}(2x)(x+1)\]
\[(x+1)\big[(x+5)-2x\big] = 0\]
\[(x+1)(5-x) = 0\]
\(x > 1\) → \(x+1 \neq 0\) → \(\boxed{x = 5}\)