عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 56
تمرين 56 \(A=(x\sqrt{3}+1)^2-(x-\sqrt{3})^2,\ B=(x\sqrt{2}+1)(x\sqrt{2}-1)\)

📐 نص التمرين

\[A = (x\sqrt{3}+1)^2 - (x-\sqrt{3})^2 \qquad B = (x\sqrt{2}+1)(x\sqrt{2}-1)\]

1) أنشر واختصر \(A\) و \(B\)
2) اكتب \(A\) على شكل جذاء عوامل
3) جد مجموعة الأعداد الحقيقية \(x\) حيث \(A = 0\)
4) جد مجموعة الأعداد الحقيقية \(x\) حيث \(A\) هو مقابل \(B\)
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • 1) انشر \((x\sqrt{3}+1)^2\) بالهويّة \((u+v)^2\) و\((x-\sqrt{3})^2\) بالهويّة \((u-v)^2\).
  • 1) لحساب \(B\) : هويّة \((u+v)(u-v)\) مباشرة.
  • 2) بعد الاختصار ستجد \(A\) كثير حدود من الدرجة الثانية — أكمل المربع لتفكيكه.
  • 4) « مقابل \(B\) » يعني \(A + B = 0\).

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : انشر \((x\sqrt{3}+1)^2\) و\((x-\sqrt{3})^2\) كلاًّ على حدة، ثمّ اطرحهما للحصول على \(A\) مبسّطة.

الخطوة 2 : لحساب \(B\)، طبّق هويّة \((u+v)(u-v)=u^2-v^2\) مباشرة دون نشر تفصيلي.

الخطوة 3 : لتفكيك \(A\) (كثير حدود من الدرجة الثانية بمعامل مشترك)، أخرج العامل المشترك أوّلاً، ثمّ أكمل المربع داخل القوس لكتابته على شكل فرق مربعين.

الخطوة 4 : لحلّ \(A=0\)، استعمل خاصيّة الجذاء الصفري على التفكيك الذي أوجدته.

الخطوة 5 : لحلّ « \(A\) مقابل \(B\) »، اكتب المعادلة \(A+B=0\)، بسّط الطرف الأيسر، ثمّ أكمل المربع من جديد لإيجاد الحلول.

✅ الحل النهائي

1) نشر واختصار \(A\) :
\[(x\sqrt{3}+1)^2 = (\sqrt{3})^2 x^2 + 2\sqrt{3}x + 1 = 3x^2 + 2\sqrt{3}x + 1\]
\[(x-\sqrt{3})^2 = x^2 - 2\sqrt{3}x + (\sqrt{3})^2 = x^2 - 2\sqrt{3}x + 3\]
\[A = (3x^2+2\sqrt{3}x+1) - (x^2-2\sqrt{3}x+3)\]
\[\boxed{A = 2x^2 + 4\sqrt{3}x - 2}\]

نشر واختصار \(B\) :
\[B = (x\sqrt{2}+1)(x\sqrt{2}-1) = (x\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2x^2 - 1\]
\[\boxed{B = 2x^2 - 1}\]
2) تفكيك \(A\) إلى جذاء عوامل :
\[A = 2x^2 + 4\sqrt{3}x - 2 = 2(x^2 + 2\sqrt{3}x - 1)\]
نُكمل المربع :
\[x^2 + 2\sqrt{3}x - 1 = (x+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2 - 1 = (x+\sqrt{3})^2 - 3 - 1 = (x+\sqrt{3})^2 - 4\]
\[(x+\sqrt{3})^2 - 4 = (x+\sqrt{3}+2)(x+\sqrt{3}-2)\]
إذًا :
\[\boxed{A = 2(x+\sqrt{3}+2)(x+\sqrt{3}-2)}\]
3) مجموعة حلول \(A = 0\) :
\[2(x+\sqrt{3}+2)(x+\sqrt{3}-2) = 0\]
\[x + \sqrt{3} + 2 = 0 \quad \text{أو} \quad x + \sqrt{3} - 2 = 0\]
\[\boxed{S = \{-\sqrt{3}-2 \;;\; 2-\sqrt{3}\}}\]
4) مجموعة حلول « \(A\) مقابل \(B\) » :
مقابل يعني : \(A + B = 0\)
\[(2x^2 + 4\sqrt{3}x - 2) + (2x^2 - 1) = 0\]
\[4x^2 + 4\sqrt{3}x - 3 = 0\]
نُكمل المربع :
\[4\left(x^2 + \sqrt{3}x\right) = 3\]
\[4\left[\left(x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \dfrac{3}{4}\right] = 3\]
\[4\left(x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 3 = 3\]
\[4\left(x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 6\]
\[\left(x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}\]
\[x+\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{2} \quad \text{أو} \quad x+\dfrac{\sqrt{3}}{2} = -\dfrac{\sqrt{6}}{2}\]
\[x = \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{2} \quad \text{أو} \quad x = \dfrac{-\sqrt{6}-\sqrt{3}}{2}\]
\[\boxed{S = \left\{\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{2} \;;\; \dfrac{-\sqrt{6}-\sqrt{3}}{2}\right\}}\]