عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 55
تمرين 55 \((a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)

📐 نص التمرين

1) بيّن أن \((a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab\)
2) استنتج حساباً للعدد \(1\,000\,001^2 - 999\,999^2\)
3) أحسب \(ab\) إذا علمت أن \(a+b = 18\) و \(a-b = 4\)
4) بيّن أن \((a+1)^2 - (a-1)^2 = 4a\)
5) أحسب \(1001^2 - 999^2\) و \(10001^2 - 9999^2\)
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • 1) هذا إثبات بالنشر — انشر الطرف الأيسر وبسّط، أو استعمل التفكيك المباشر \(u^2-v^2=(u-v)(u+v)\).
  • 2) اكتب \(1\,000\,001 = a+b\) و\(999\,999 = a-b\) — ما هو \(a\) وما هو \(b\) ؟
  • 3) من المعادلتين \(a+b\) و\(a-b\)، احسب \(ab\) مباشرة باستعمال نتيجة 1).
  • 4) هو حالة خاصة من 1) حيث \(b = 1\).
  • 5) استعمل 4) : \(1001 = a+1\) و\(999 = a-1\) — ما هو \(a\) ؟

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : انشر \((a+b)^2\) و\((a-b)^2\) كلاًّ على حدة باستعمال الهويّتين المعروفتين، ثمّ اطرحهما وبسّط.

الخطوة 2 : لتطبيق النتيجة على عدد كبير، اكتب العدد المطلوب حسابه على شكل \((a+b)^2-(a-b)^2\)، بتحديد \(a\) و\(b\) المناسبين، ثمّ استعمل الصيغة \(4ab\) مباشرة دون تربيع الأعداد الكبيرة.

الخطوة 3 : لإيجاد \(ab\) من \(a+b\) و\(a-b\) المعطيين، عوّض مباشرة في الصيغة \((a+b)^2-(a-b)^2=4ab\) واحسب \(ab\).

الخطوة 4 : لاحظ أنّ 4) حالة خاصّة من 1) بأخذ \(b=1\) — لا حاجة لإعادة الإثبات من الصفر.

الخطوة 5 : لكلّ عدد من الشكل \((a+1)^2-(a-1)^2\)، حدّد \(a\) من العددين المعطيين ثمّ طبّق مباشرة الصيغة \(4a\).

✅ الحل النهائي

1) إثبات \((a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab\) :
\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]
\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]
\[(a+b)^2 - (a-b)^2 = (a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2) = 4ab \checkmark\]
أو بالتفكيك المباشر :
\[(a+b)^2 - (a-b)^2 = \big[(a+b)+(a-b)\big]\big[(a+b)-(a-b)\big] = (2a)(2b) = 4ab \checkmark\]
2) حساب \(1\,000\,001^2 - 999\,999^2\) :
نلاحظ : \(1\,000\,001 + 999\,999 = 2\,000\,000\) و\(1\,000\,001 - 999\,999 = 2\)
\[1\,000\,001^2 - 999\,999^2 = (1\,000\,001 + 999\,999)(1\,000\,001 - 999\,999)\]
\[= 2\,000\,000 \times 2 = \boxed{4\,000\,000}\]
أو باستعمال نتيجة 1) مع \(a = 1\,000\,000\)، \(b = 1\) :
\[4ab = 4 \times 1\,000\,000 \times 1 = 4\,000\,000\]
3) حساب \(ab\) إذا \(a+b = 18\) و\(a-b = 4\) :
من نتيجة 1) :
\[(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab\]
\[18^2 - 4^2 = 4ab\]
\[324 - 16 = 4ab\]
\[ab = \dfrac{308}{4} = \boxed{77}\]
4) إثبات \((a+1)^2 - (a-1)^2 = 4a\) :
هو حالة خاصة من 1) بـ \(b = 1\) :
\[(a+1)^2 - (a-1)^2 = 4 \times a \times 1 = 4a \checkmark\]
5) حساب \(1001^2 - 999^2\) :
\(a+1 = 1001\) و\(a-1 = 999\) → \(a = 1000\)
\[1001^2 - 999^2 = 4 \times 1000 = \boxed{4000}\]

حساب \(10001^2 - 9999^2\) :
\(a+1 = 10001\) و\(a-1 = 9999\) → \(a = 10000\)
\[10001^2 - 9999^2 = 4 \times 10000 = \boxed{40000}\]